$AB = 5$, $BC = 10$, $CA = 7$ である $\triangle ABC$ がある。辺 $BC$ の中点を $M$ とするとき、$AM$ の長さを求めよ。

1. 問題の内容

$AB = 5$, $BC = 10$, $CA = 7$ である $\triangle ABC$ がある。辺 $BC$ の中点を $M$ とするとき、$AM$ の長さを求めよ。

2. 解き方の手順

中線定理を用いる。中線定理とは、$\triangle ABC$ において、辺 $BC$ の中点を $M$ とするとき、

$$AB^2 + AC^2 = 2(AM^2 + BM^2)$$

が成り立つ、という定理である。

$AB = 5$, $BC = 10$, $CA = 7$ であり、$M$ は $BC$ の中点なので、$BM = CM = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5$ となる。

したがって、

$$5^2 + 7^2 = 2(AM^2 + 5^2)$$

$$25 + 49 = 2(AM^2 + 25)$$

$$74 = 2AM^2 + 50$$

$$24 = 2AM^2$$

$$AM^2 = 12$$

$$AM = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$$

となる。

3. 最終的な答え

$2\sqrt{3}$