問題は、3つの立体（円柱、正四角錐、半球）の体積と表面積を求めることです。

1. 問題の内容

問題は、3つの立体（円柱、正四角錐、半球）の体積と表面積を求めることです。

2. 解き方の手順

(1) 円柱

* 体積: 底面積 × 高さ

* 底面積 = $\pi r^2 = \pi (3\text{ cm})^2 = 9\pi \text{ cm}^2$

* 高さ = $7\text{ cm}$

* 体積 = $9\pi \text{ cm}^2 \times 7\text{ cm} = 63\pi \text{ cm}^3$

* 表面積: 側面積 + 2 × 底面積

* 側面積 = $2\pi r h = 2\pi (3\text{ cm}) (7\text{ cm}) = 42\pi \text{ cm}^2$

* 底面積 = $9\pi \text{ cm}^2$

* 表面積 = $42\pi \text{ cm}^2 + 2 \times 9\pi \text{ cm}^2 = 42\pi \text{ cm}^2 + 18\pi \text{ cm}^2 = 60\pi \text{ cm}^2$

(2) 正四角錐

* 体積: (1/3) × 底面積 × 高さ

* 底面積 = $(6\text{ cm})^2 = 36\text{ cm}^2$

* 高さ：ピタゴラスの定理を利用して高さを求める。頂点から底面の正方形の中心に下ろした垂線の長さをhとすると、$h^2 + (6/2)^2 = 4^2$, $h^2 + 3^2 = 16$ より$h = \sqrt{16 - 9} = \sqrt{7}$

* 体積 = $\frac{1}{3} \times 36\text{ cm}^2 \times \sqrt{7} \text{ cm} = 12\sqrt{7} \text{ cm}^3$

* 表面積: 底面積 + 4 × 側面三角形の面積

* 底面積 = $36\text{ cm}^2$

* 側面三角形の面積 = $\frac{1}{2} \times 6\text{ cm} \times 5\text{ cm} = 15\text{ cm}^2$

* 表面積 = $36\text{ cm}^2 + 4 \times 15\text{ cm}^2 = 36\text{ cm}^2 + 60\text{ cm}^2 = 96\text{ cm}^2$

(3) 半球

* 体積: (2/3) × $\pi r^3$

* 半径 = $12/2 = 6\text{ cm}$

* 体積 = $\frac{2}{3} \pi (6\text{ cm})^3 = \frac{2}{3} \pi (216\text{ cm}^3) = 144\pi \text{ cm}^3$

* 表面積: (1/2) × 球の表面積 + 底面の円の面積

* 球の表面積 = $4\pi r^2 = 4\pi (6\text{ cm})^2 = 144\pi \text{ cm}^2$

* 半球の表面積（球面部分） = $\frac{1}{2} \times 144\pi \text{ cm}^2 = 72\pi \text{ cm}^2$

* 底面の円の面積 = $\pi r^2 = \pi (6\text{ cm})^2 = 36\pi \text{ cm}^2$

* 表面積 = $72\pi \text{ cm}^2 + 36\pi \text{ cm}^2 = 108\pi \text{ cm}^2$

3. 最終的な答え

(1) 円柱

* 体積: $63\pi \text{ cm}^3$

* 表面積: $60\pi \text{ cm}^2$

(2) 正四角錐

* 体積: $12\sqrt{7} \text{ cm}^3$

* 表面積: $96 \text{ cm}^2$

(3) 半球

* 体積: $144\pi \text{ cm}^3$

* 表面積: $108\pi \text{ cm}^2$