点 $P_1(1, 2)$ と $P_2(-2, -2)$ を原点の周りに $-\frac{\pi}{3}$ だけ回転させたときの点の座標を求める問題です。

1. 問題の内容

点 $P_1(1, 2)$ と $P_2(-2, -2)$ を原点の周りに $-\frac{\pi}{3}$ だけ回転させたときの点の座標を求める問題です。

2. 解き方の手順

点の回転は、回転行列を使って計算できます。

原点を中心とする角度 $\theta$ の回転行列は以下のようになります。

$R = \begin{pmatrix}

\cos\theta & -\sin\theta \\

\sin\theta & \cos\theta

\end{pmatrix}$

この問題では、$\theta = -\frac{\pi}{3}$ なので、

$\cos(-\frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$

$\sin(-\frac{\pi}{3}) = -\sin(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

回転行列は以下のようになります。

$R = \begin{pmatrix}

\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\

-\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2}

\end{pmatrix}$

点 $P(x, y)$ を回転させた後の点 $P'(x', y')$ は、以下の式で計算できます。

$\begin{pmatrix}

x' \\

y'

\end{pmatrix} = R \begin{pmatrix}

x \\

y

\end{pmatrix}$

(1) 点 $P_1(1, 2)$ の回転

$\begin{pmatrix}

x' \\

y'

\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}

\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\

-\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2}

\end{pmatrix} \begin{pmatrix}

1 \\

2

\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}

\frac{1}{2} + \sqrt{3} \\

-\frac{\sqrt{3}}{2} + 1

\end{pmatrix}$

(2) 点 $P_2(-2, -2)$ の回転

$\begin{pmatrix}

x' \\

y'

\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}

\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \\

-\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2}

\end{pmatrix} \begin{pmatrix}

-2 \\

-2

\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}

-1 - \sqrt{3} \\

\sqrt{3} - 1

\end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

$P_1(1, 2)$ を回転させた点: $(\frac{1}{2} + \sqrt{3}, 1 - \frac{\sqrt{3}}{2})$

$P_2(-2, -2)$ を回転させた点: $(-1 - \sqrt{3}, \sqrt{3} - 1)$