与えられた問題は、次の定積分を計算することです。 $\int_{0}^{\infty} \frac{dx}{x^4 + 4}$

1. 問題の内容

与えられた問題は、次の定積分を計算することです。

$\int_{0}^{\infty} \frac{dx}{x^4 + 4}$

2. 解き方の手順

まず、$x^4 + 4$を因数分解します。

$x^4 + 4 = x^4 + 4x^2 + 4 - 4x^2 = (x^2 + 2)^2 - (2x)^2 = (x^2 + 2x + 2)(x^2 - 2x + 2)$

次に、部分分数分解を行います。

$\frac{1}{x^4 + 4} = \frac{Ax + B}{x^2 + 2x + 2} + \frac{Cx + D}{x^2 - 2x + 2}$

$1 = (Ax + B)(x^2 - 2x + 2) + (Cx + D)(x^2 + 2x + 2)$

$1 = Ax^3 - 2Ax^2 + 2Ax + Bx^2 - 2Bx + 2B + Cx^3 + 2Cx^2 + 2Cx + Dx^2 + 2Dx + 2D$

$1 = (A+C)x^3 + (-2A+B+2C+D)x^2 + (2A-2B+2C+2D)x + (2B+2D)$

係数を比較すると、

$A+C = 0$

$-2A+B+2C+D = 0$

$2A-2B+2C+2D = 0$

$2B+2D = 1$

これらの式を解くと、

$A = -1/8, B = 1/4, C = 1/8, D = 1/4$

したがって、

$\frac{1}{x^4 + 4} = \frac{-x/8 + 1/4}{x^2 + 2x + 2} + \frac{x/8 + 1/4}{x^2 - 2x + 2}$

$\int \frac{1}{x^4 + 4} dx = \int \frac{-x/8 + 1/4}{x^2 + 2x + 2} dx + \int \frac{x/8 + 1/4}{x^2 - 2x + 2} dx$

$\int \frac{-x/8 + 1/4}{x^2 + 2x + 2} dx = \int \frac{-(x+1)/8 + 3/8}{(x+1)^2 + 1} dx = -\frac{1}{16} \ln(x^2 + 2x + 2) + \frac{3}{8} \arctan(x+1)$

$\int \frac{x/8 + 1/4}{x^2 - 2x + 2} dx = \int \frac{(x-1)/8 + 3/8}{(x-1)^2 + 1} dx = \frac{1}{16} \ln(x^2 - 2x + 2) + \frac{3}{8} \arctan(x-1)$

$\int_{0}^{\infty} \frac{1}{x^4 + 4} dx = [-\frac{1}{16} \ln(x^2 + 2x + 2) + \frac{3}{8} \arctan(x+1) + \frac{1}{16} \ln(x^2 - 2x + 2) + \frac{3}{8} \arctan(x-1)]_{0}^{\infty}$

$= [\frac{1}{16} \ln(\frac{x^2 - 2x + 2}{x^2 + 2x + 2}) + \frac{3}{8} (\arctan(x+1) + \arctan(x-1))]_{0}^{\infty}$

$= \frac{1}{16} \ln(1) + \frac{3}{8}(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2}) - (\frac{1}{16} \ln(1) + \frac{3}{8} (\frac{\pi}{4} + \frac{-\pi}{4}))$

$= 0 + \frac{3}{8} \cdot \frac{\pi}{2} - 0 - 0 = \frac{3\pi}{16}$

3. 最終的な答え

$\frac{3\pi}{16}$