$\angle PAB = \frac{\pi}{2}$、 $AB=4$ の直角三角形 $PAB$ がある。辺 $AB$ の中点を $M$ とおく。$\triangle PMB$ の面積が $t$ となったとき、$\angle MPB = \theta$ とすると、$\sin \theta$ の最大値を求めよ。

1. 問題の内容

$\angle PAB = \frac{\pi}{2}$、 $AB=4$ の直角三角形 $PAB$ がある。辺 $AB$ の中点を $M$ とおく。$\triangle PMB$ の面積が $t$ となったとき、$\angle MPB = \theta$ とすると、$\sin \theta$ の最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

$AP = x$, $BP = y$ とおく。$\triangle PAB$ は直角三角形なので、三平方の定理より $x^2 + y^2 = AB^2 = 4^2 = 16$。

$\triangle PAB$ の面積は $\frac{1}{2}xy$ である。

$M$ は $AB$ の中点なので、$AM = MB = 2$。

$\triangle PMB$ の面積は $t$ なので、$\frac{1}{2} \cdot MB \cdot PB \cdot \sin(\angle PBA) = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot y \cdot \sin(\angle PBA) = t$。

$\angle PBA = \alpha$ とおくと、$\sin \alpha = \frac{x}{4}$。よって $\triangle PMB$ の面積 $t = y \cdot \frac{x}{4} = \frac{xy}{4}$。

したがって、$\triangle PAB$ の面積は $2t$ である。つまり、$\frac{1}{2}xy = 2t$ より $xy = 4t$。

$x^2 + y^2 = 16$ かつ $xy = 4t$ なので、$(x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy = 16 + 8t$、$(x-y)^2 = x^2 + y^2 - 2xy = 16 - 8t$。

$(x-y)^2 \ge 0$ なので、$16 - 8t \ge 0$。よって $t \le 2$。

$\triangle PMB$ について、余弦定理を用いると

$PM^2 = PB^2 + MB^2 - 2 \cdot PB \cdot MB \cdot \cos(\angle PBA) = y^2 + 2^2 - 2 \cdot y \cdot 2 \cdot \frac{y}{4} = y^2 + 4 - y^2 = 4$。

したがって $PM = 2$ である。つまり $AM = MB = PM = 2$ となり、$\triangle PMB$ は $PM = MB$ の二等辺三角形である。

$\triangle PMB$ の面積は $t = \frac{1}{2} PM \cdot MB \cdot \sin \theta = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 \cdot \sin \theta = 2 \sin \theta$。

$\sin \theta = \frac{t}{2}$ である。

$\sin \theta$ が最大となるのは $t$ が最大となるときであり、$t \le 2$ より、$t = 2$ のとき $\sin \theta$ は最大となる。

$\sin \theta = \frac{2}{2} = 1$

3. 最終的な答え

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