直線 $y = 2x - 1$ に関して、点 $A(4, 1)$ と対称な点 $B$ の座標を求める。

1. 問題の内容

直線 $y = 2x - 1$ に関して、点 $A(4, 1)$ と対称な点 $B$ の座標を求める。

2. 解き方の手順

まず、点 $B$ の座標を $(x, y)$ とおく。

* 直線 $AB$ は直線 $y = 2x - 1$ に垂直である。直線 $AB$ の傾きは $\frac{y - 1}{x - 4}$ であり、直線 $y = 2x - 1$ の傾きは $2$ である。垂直な直線の傾きの積は $-1$ なので、

$\frac{y - 1}{x - 4} \cdot 2 = -1$

$2(y - 1) = -(x - 4)$

$2y - 2 = -x + 4$

$x + 2y = 6$ ...(1)

* 線分 $AB$ の中点は直線 $y = 2x - 1$ 上にある。中点の座標は $\left(\frac{x + 4}{2}, \frac{y + 1}{2}\right)$ である。この中点の座標を直線 $y = 2x - 1$ に代入すると、

$\frac{y + 1}{2} = 2 \cdot \frac{x + 4}{2} - 1$

$y + 1 = 2(x + 4) - 2$

$y + 1 = 2x + 8 - 2$

$y = 2x + 5$

$-2x + y = 5$ ...(2)

(1)と(2)の連立方程式を解く。

(1)より $x = 6 - 2y$

これを(2)に代入すると、

$-2(6 - 2y) + y = 5$

$-12 + 4y + y = 5$

$5y = 17$

$y = \frac{17}{5}$

$x = 6 - 2y = 6 - 2 \cdot \frac{17}{5} = 6 - \frac{34}{5} = \frac{30 - 34}{5} = -\frac{4}{5}$

したがって、点 $B$ の座標は $\left(-\frac{4}{5}, \frac{17}{5}\right)$ である。

3. 最終的な答え

ア. B($-\frac{4}{5}$, $\frac{17}{5}$)