数列$\{a_n\}$ の一般項が $a_n = -3n + 7$ で与えられているとき、以下の問いに答える。 (1) 数列$\{a_n\}$ が等差数列であることを証明し、その初項と公差を求める。 (2) 一般項が $c_n = a_{3n}$ である数列$\{c_n\}$ が等差数列であることを証明し、その初項と公差を求める。

1. 問題の内容

数列$\{a_n\}$ の一般項が $a_n = -3n + 7$ で与えられているとき、以下の問いに答える。

(1) 数列$\{a_n\}$ が等差数列であることを証明し、その初項と公差を求める。

(2) 一般項が $c_n = a_{3n}$ である数列$\{c_n\}$ が等差数列であることを証明し、その初項と公差を求める。

2. 解き方の手順

(1) 数列$\{a_n\}$ が等差数列であることを示すには、$a_{n+1} - a_n$ が $n$ に依存しない定数になることを示せばよい。

$a_{n+1} = -3(n+1) + 7 = -3n - 3 + 7 = -3n + 4$ であるから、

\begin{align*}

a_{n+1} - a_n &= (-3n + 4) - (-3n + 7) \\

&= -3n + 4 + 3n - 7 \\

&= -3

\end{align*}

これは $n$ に依存しない定数であるから、数列$\{a_n\}$ は等差数列である。

初項は $a_1 = -3(1) + 7 = 4$ であり、公差は $-3$ である。

(2) 数列$\{c_n\}$ が等差数列であることを示すには、$c_{n+1} - c_n$ が $n$ に依存しない定数になることを示せばよい。

$c_n = a_{3n} = -3(3n) + 7 = -9n + 7$ である。

したがって、$c_{n+1} = -9(n+1) + 7 = -9n - 9 + 7 = -9n - 2$ であるから、

\begin{align*}

c_{n+1} - c_n &= (-9n - 2) - (-9n + 7) \\

&= -9n - 2 + 9n - 7 \\

&= -9

\end{align*}

これは $n$ に依存しない定数であるから、数列$\{c_n\}$ は等差数列である。

初項は $c_1 = -9(1) + 7 = -2$ であり、公差は $-9$ である。

3. 最終的な答え

(1) 数列$\{a_n\}$ は等差数列であり、初項は4、公差は-3である。

(2) 数列$\{c_n\}$ は等差数列であり、初項は-2、公差は-9である。