正方形の花壇があり、幅が5mと3mの道を作ったところ、残った花壇の面積が元の面積の$\frac{3}{4}$になった。元の花壇の面積を求める。

1. 問題の内容

正方形の花壇があり、幅が5mと3mの道を作ったところ、残った花壇の面積が元の面積の$\frac{3}{4}$になった。元の花壇の面積を求める。

2. 解き方の手順

まず、元の正方形の花壇の一辺の長さを $x$ [m] とする。

元の花壇の面積は $x^2$ [m$^2$] である。

道を作った後の花壇の一辺の長さは、それぞれ $(x-5)$ [m] と $(x-3)$ [m] である。

残った花壇の面積は $(x-5)(x-3)$ [m$^2$] である。

問題文より、残った花壇の面積は元の面積の$\frac{3}{4}$なので、以下の式が成り立つ。

$(x-5)(x-3) = \frac{3}{4}x^2$

これを解く。

$x^2 - 8x + 15 = \frac{3}{4}x^2$

両辺に4をかけると、

$4x^2 - 32x + 60 = 3x^2$

$x^2 - 32x + 60 = 0$

この二次方程式を解く。

$(x - 2)(x - 30) = 0$

$x = 2, 30$

$x$は花壇の一辺の長さなので、道幅より大きい必要がある。$x=2$のとき、$x-5$が負の数になってしまうので不適。よって$x=30$

元の花壇の面積は $x^2$ なので、$30^2 = 900$ [m$^2$]。

3. 最終的な答え

900 m$^2$