台形ABCDにおいて、AB=4cm, AD=2cm, BC=6cmである。点P, Qはそれぞれ秒速1cmでBを同時に出発し、点PはAを通って辺BA, AD上をDまで動き、点Qは辺BC上をCまで動く。 出発からx秒後の三角形PBQの面積をy cm²とする。 (1) 点Pが辺AD上を動くときについて、xとyの関係を式に表し、xの変域を求めなさい。 (2) xとyの関係をグラフに表しなさい。

1. 問題の内容

台形ABCDにおいて、AB=4cm, AD=2cm, BC=6cmである。点P, Qはそれぞれ秒速1cmでBを同時に出発し、点PはAを通って辺BA, AD上をDまで動き、点Qは辺BC上をCまで動く。

出発からx秒後の三角形PBQの面積をy cm²とする。

(1) 点Pが辺AD上を動くときについて、xとyの関係を式に表し、xの変域を求めなさい。

(2) xとyの関係をグラフに表しなさい。

2. 解き方の手順

(1) 点Pが辺AD上を動くとき

点PはBを出発してから4秒後にAに到着する。点PがAに到着した後、AD上をDまで動く時間はADの長さを速さで割れば求まるので、2cm / (1 cm/s) = 2秒である。したがって、点PがAD上を動くときのxの変域は$4 \le x \le 6$となる。

このとき、三角形PBQの高さは常にABの長さである4cmとなる。また、底辺はBQの長さであり、$x$ cmである。

したがって、三角形PBQの面積$y$は、

$y = \frac{1}{2} \times x \times 4$

$y = 2x$

(2) xとyの関係のグラフ

上記の(1)の結果と、問題文中に与えられている点Pが辺BA上を動くときの式からグラフを作成する。

点Pが辺BA上を動くとき、$y = \frac{1}{2}x^2$であり、$0 \le x \le 4$である。

点Pが辺AD上を動くとき、$y = 2x$であり、$4 \le x \le 6$である。

したがって、グラフは、$0 \le x \le 4$のとき、$y = \frac{1}{2}x^2$を描き、$4 \le x \le 6$のとき、$y = 2x$を描けばよい。

3. 最終的な答え

(1) 式： $y = 2x$

xの変域： $4 \le x \le 6$

(2) グラフ：グラフは上記手順2-(2)の通り。