問題38は、次の対数の値を求める問題です。 (1) $\log_3 243$ (2) $\log_{10} \frac{1}{1000}$ (3) $\log_{\frac{1}{3}} \sqrt{27}$ (4) $\log_{0.2} 25$

## 問題38の解答

1. 問題の内容

問題38は、次の対数の値を求める問題です。

(1) $\log_3 243$

(2) $\log_{10} \frac{1}{1000}$

(3) $\log_{\frac{1}{3}} \sqrt{27}$

(4) $\log_{0.2} 25$

2. 解き方の手順

(1) $\log_3 243$

$243$ を $3$ の累乗で表すと $243 = 3^5$ なので、$\log_3 243 = \log_3 3^5 = 5$ となります。

(2) $\log_{10} \frac{1}{1000}$

$\frac{1}{1000}$ を $10$ の累乗で表すと $\frac{1}{1000} = 10^{-3}$ なので、$\log_{10} \frac{1}{1000} = \log_{10} 10^{-3} = -3$ となります。

(3) $\log_{\frac{1}{3}} \sqrt{27}$

$\sqrt{27}$ を計算すると $\sqrt{27} = \sqrt{3^3} = 3^{\frac{3}{2}}$ となります。また、$\frac{1}{3} = 3^{-1}$ であるので、

$\log_{\frac{1}{3}} \sqrt{27} = \log_{3^{-1}} 3^{\frac{3}{2}} = \frac{\frac{3}{2}}{-1} = -\frac{3}{2}$ となります。

(4) $\log_{0.2} 25$

$0.2 = \frac{1}{5} = 5^{-1}$ および $25 = 5^2$ であるから、

$\log_{0.2} 25 = \log_{5^{-1}} 5^2 = \frac{2}{-1} = -2$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $\log_3 243 = 5$

(2) $\log_{10} \frac{1}{1000} = -3$

(3) $\log_{\frac{1}{3}} \sqrt{27} = -\frac{3}{2}$

(4) $\log_{0.2} 25 = -2$

## 問題39の解答

1. 問題の内容

問題39は、次の式を簡単にする問題です。

(1) $\log_8 2 + \log_8 4$

(2) $\log_3 72 - \log_3 8$

(3) $\log_5 \sqrt{125}$

(4) $\log_4 16$

(5) $\log_2 3 \cdot \log_3 2$

2. 解き方の手順

(1) $\log_8 2 + \log_8 4$

対数の性質 $\log_a x + \log_a y = \log_a (xy)$ を用いると、

$\log_8 2 + \log_8 4 = \log_8 (2 \cdot 4) = \log_8 8 = 1$

(2) $\log_3 72 - \log_3 8$

対数の性質 $\log_a x - \log_a y = \log_a \frac{x}{y}$ を用いると、

$\log_3 72 - \log_3 8 = \log_3 \frac{72}{8} = \log_3 9 = \log_3 3^2 = 2$

(3) $\log_5 \sqrt{125}$

$\sqrt{125} = \sqrt{5^3} = 5^{\frac{3}{2}}$ であるから、

$\log_5 \sqrt{125} = \log_5 5^{\frac{3}{2}} = \frac{3}{2}$

(4) $\log_4 16$

$16 = 4^2$ であるから、

$\log_4 16 = \log_4 4^2 = 2$

(5) $\log_2 3 \cdot \log_3 2$

底の変換公式 $\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$ を用いると、

$\log_3 2 = \frac{\log_2 2}{\log_2 3} = \frac{1}{\log_2 3}$

したがって、$\log_2 3 \cdot \log_3 2 = \log_2 3 \cdot \frac{1}{\log_2 3} = 1$

3. 最終的な答え

(1) $\log_8 2 + \log_8 4 = 1$

(2) $\log_3 72 - \log_3 8 = 2$

(3) $\log_5 \sqrt{125} = \frac{3}{2}$

(4) $\log_4 16 = 2$

(5) $\log_2 3 \cdot \log_3 2 = 1$