次の不等式を解きます。 $2^{x(x+2)} > (\frac{1}{4})^{x-6}$

1. 問題の内容

次の不等式を解きます。

$2^{x(x+2)} > (\frac{1}{4})^{x-6}$

2. 解き方の手順

まず、両辺の底を2に統一します。$\frac{1}{4} = 2^{-2}$なので、右辺は

$(\frac{1}{4})^{x-6} = (2^{-2})^{x-6} = 2^{-2(x-6)} = 2^{-2x+12}$

となります。

したがって、不等式は

$2^{x(x+2)} > 2^{-2x+12}$

となります。

底が2で1より大きいので、指数部分の大小関係も同様になります。

$x(x+2) > -2x+12$

$x^2 + 2x > -2x + 12$

$x^2 + 4x - 12 > 0$

$(x+6)(x-2) > 0$

よって、$x < -6$ または $x > 2$ となります。

3. 最終的な答え

$x < -6$ または $x > 2$