問題34は、与えられた2つの数の大小関係を不等号を用いて表す問題です。 問題35は、与えられた3つの数の大小関係を不等号を用いて表す問題です。

1. 問題の内容

問題34は、与えられた2つの数の大小関係を不等号を用いて表す問題です。

問題35は、与えられた3つの数の大小関係を不等号を用いて表す問題です。

2. 解き方の手順

問題34(1)：

$2^{\frac{2}{3}}$ と $\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}$ の大小を比較します。

指数関数 $y = 2^x$ は単調増加関数なので、指数の大小を比較すればよいです。

$\frac{2}{3}$ と $\frac{1}{2}$ を比較すると、$\frac{2}{3} = \frac{4}{6}$、$\frac{1}{2} = \frac{3}{6}$ なので、$\frac{2}{3} > \frac{1}{2}$。

したがって、$2^{\frac{2}{3}} > 2^{\frac{1}{2}}$。

問題34(2)：

$(\frac{1}{3})^{-2}$ と $\frac{1}{3}$ の大小を比較します。

$(\frac{1}{3})^{-2} = 3^2 = 9$ です。

$9 > \frac{1}{3}$ なので、$(\frac{1}{3})^{-2} > \frac{1}{3}$。

問題35(1)：

$2$, $\sqrt[3]{4}$, $\sqrt[5]{64}$ の大小を比較します。

$2 = 2^1 = 2^{\frac{15}{15}}$

$\sqrt[3]{4} = 4^{\frac{1}{3}} = (2^2)^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{2}{3}} = 2^{\frac{10}{15}}$

$\sqrt[5]{64} = 64^{\frac{1}{5}} = (2^6)^{\frac{1}{5}} = 2^{\frac{6}{5}} = 2^{\frac{18}{15}}$

指数の大小関係から、$\frac{10}{15} < \frac{15}{15} < \frac{18}{15}$ なので、$2^{\frac{10}{15}} < 2^{\frac{15}{15}} < 2^{\frac{18}{15}}$

したがって、$\sqrt[3]{4} < 2 < \sqrt[5]{64}$

問題35(2)：

$\frac{1}{\sqrt[3]{3}}$, $1$, $\frac{1}{9}$ の大小を比較します。

$\frac{1}{\sqrt[3]{3}} = 3^{-\frac{1}{3}}$

$\frac{1}{9} = 3^{-2}$

$3^{-\frac{1}{3}}$と$1$を比較すると、$3^{-\frac{1}{3}} < 1$

$3^{-2}$と$1$を比較すると、$3^{-2} < 1$

$3^{-\frac{1}{3}}$と$3^{-2}$を比較すると、$-\frac{1}{3} > -2$ なので、$3^{-\frac{1}{3}} > 3^{-2}$

したがって、$\frac{1}{9} < \frac{1}{\sqrt[3]{3}} < 1$

3. 最終的な答え

問題34(1)：$2^{\frac{2}{3}} > \sqrt{2}$

問題34(2)：$(\frac{1}{3})^{-2} > \frac{1}{3}$

問題35(1)：$\sqrt[3]{4} < 2 < \sqrt[5]{64}$

問題35(2)：$\frac{1}{9} < \frac{1}{\sqrt[3]{3}} < 1$