質量 $m$ の2つの物体が、それぞれ初速度 $v_{1i}$ と $v_{2i}$ で直線上を運動しており、非弾性衝突をする。反発係数（はねかえり係数）$e$ は 0.80 である。右方向を正とする。 (1) 衝突後の2つの物体の速度を $v_{1f}$ 、 $v_{2f}$ とするとき、運動量保存の式を書け。 (2) 衝突後の2つの物体の速度を $v_{1f}$ 、 $v_{2f}$ とするとき、相対速度を反発係数を用いて表せ。 (3) $v_{1i} = 10 \ m/s$、$v_{2i} = -4.0 \ m/s$ のとき、衝突後の2つの物体の速度 $v_{1f}$、$v_{2f}$ を求めよ。

1. 問題の内容

質量 $m$ の2つの物体が、それぞれ初速度 $v_{1i}$ と $v_{2i}$ で直線上を運動しており、非弾性衝突をする。反発係数（はねかえり係数）$e$ は 0.80 である。右方向を正とする。

(1) 衝突後の2つの物体の速度を $v_{1f}$ 、 $v_{2f}$ とするとき、運動量保存の式を書け。

(2) 衝突後の2つの物体の速度を $v_{1f}$ 、 $v_{2f}$ とするとき、相対速度を反発係数を用いて表せ。

(3) $v_{1i} = 10 \ m/s$、$v_{2i} = -4.0 \ m/s$ のとき、衝突後の2つの物体の速度 $v_{1f}$、$v_{2f}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 運動量保存の法則より、衝突前の運動量の総和は衝突後の運動量の総和に等しい。それぞれの質量が $m$ であるため、

$m v_{1i} + m v_{2i} = m v_{1f} + m v_{2f}$

両辺を $m$ で割ると、

$v_{1i} + v_{2i} = v_{1f} + v_{2f}$

(2) 反発係数 $e$ は、相対速度の比で表される。

$e = - \frac{v_{2f} - v_{1f}}{v_{2i} - v_{1i}}$

したがって、

$v_{2f} - v_{1f} = -e (v_{2i} - v_{1i})$

(3) (1)と(2)で求めた式を用いて、$v_{1f}$ と $v_{2f}$ を求める。

$v_{1i} + v_{2i} = v_{1f} + v_{2f}$

$v_{2f} - v_{1f} = -e (v_{2i} - v_{1i})$

$v_{1i}=10 \ m/s$ 、 $v_{2i}=-4.0 \ m/s$ 、 $e=0.8$ を代入すると、

$10 - 4 = v_{1f} + v_{2f}$

$v_{2f} - v_{1f} = -0.8 (-4 - 10)$

したがって、

$v_{1f} + v_{2f} = 6$

$v_{2f} - v_{1f} = -0.8 (-14) = 11.2$

2つの式を足し合わせると、

$2v_{2f} = 17.2$

$v_{2f} = 8.6$

$v_{1f} = 6 - v_{2f} = 6 - 8.6 = -2.6$

3. 最終的な答え

(1) 運動量保存の式：

$v_{1i} + v_{2i} = v_{1f} + v_{2f}$

(2) 相対速度：

$v_{2f} - v_{1f} = -e (v_{2i} - v_{1i})$

(3) 衝突後の速度：

$v_{1f} = -2.6 \ m/s$

$v_{2f} = 8.6 \ m/s$