原点を中心とする辺の長さ $2a$, $2b$, $2c$ の直方体 $V$ があります。直方体の密度が $\rho(x, y, z) = |x||z|$ で与えられるとき、直方体の質量 $M$ を求めます。

1. 問題の内容

原点を中心とする辺の長さ $2a$, $2b$, $2c$ の直方体 $V$ があります。直方体の密度が $\rho(x, y, z) = |x||z|$ で与えられるとき、直方体の質量 $M$ を求めます。

2. 解き方の手順

直方体の質量 $M$ は、密度 $\rho(x, y, z)$ を直方体の体積 $V$ 上で積分することで求められます。すなわち、

$$M = \int\int\int_V \rho(x, y, z) \, dx \, dy \, dz$$

直方体の領域は $-a \le x \le a$, $-b \le y \le b$, $-c \le z \le c$ で表されるので、積分は以下のようになります。

$$M = \int_{-a}^a \int_{-b}^b \int_{-c}^c |x||z| \, dx \, dy \, dz$$

積分変数は分離できるので、

$$M = \left( \int_{-a}^a |x| \, dx \right) \left( \int_{-b}^b dy \right) \left( \int_{-c}^c |z| \, dz \right)$$

それぞれの積分を計算します。

$\int_{-a}^a |x| \, dx = \int_{-a}^0 -x \, dx + \int_0^a x \, dx = \left[ -\frac{x^2}{2} \right]_{-a}^0 + \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^a = 0 - \left( -\frac{a^2}{2} \right) + \frac{a^2}{2} - 0 = \frac{a^2}{2} + \frac{a^2}{2} = a^2$

$\int_{-b}^b dy = [y]_{-b}^b = b - (-b) = 2b$

$\int_{-c}^c |z| \, dz = \int_{-c}^0 -z \, dz + \int_0^c z \, dz = \left[ -\frac{z^2}{2} \right]_{-c}^0 + \left[ \frac{z^2}{2} \right]_0^c = 0 - \left( -\frac{c^2}{2} \right) + \frac{c^2}{2} - 0 = \frac{c^2}{2} + \frac{c^2}{2} = c^2$

したがって、

$$M = (a^2)(2b)(c^2) = 2a^2bc^2$$

3. 最終的な答え

$M = 2a^2bc^2$