## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

重心を原点とする辺の長さが $2a$, $2b$, $2c$ の直方体がある。この直方体の $x$ 軸周りの慣性モーメント $I$ を求める。ただし、直方体の質量は $M$ で、密度は均一とする。

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2. 解き方の手順

1. **微小体積要素の慣性モーメント**: 直方体内の微小体積要素 $dV = dx\,dy\,dz$ を考える。この微小体積要素の質量 $dm$ は、密度を $\rho$ とすると $dm = \rho\,dV$ である。

2. **密度**: 直方体の体積は $V = (2a)(2b)(2c) = 8abc$ である。したがって、密度 $\rho$ は $\rho = \frac{M}{V} = \frac{M}{8abc}$ となる。

3. **慣性モーメントの定義**: $x$ 軸周りの慣性モーメントは、積分を使って $I = \int (y^2 + z^2) dm$ で計算できる。

4. **積分範囲**: $x$ の積分範囲は $-a$ から $a$、$y$ の積分範囲は $-b$ から $b$、$z$ の積分範囲は $-c$ から $c$ である。

5. **積分**: 慣性モーメントの式に $dm = \rho\,dV = \frac{M}{8abc} dx\,dy\,dz$ を代入し、積分を行う。

$I = \int_{-a}^{a} \int_{-b}^{b} \int_{-c}^{c} (y^2 + z^2) \frac{M}{8abc} dz\,dy\,dx$

$I = \frac{M}{8abc} \int_{-a}^{a} dx \int_{-b}^{b} dy \int_{-c}^{c} (y^2 + z^2) dz$

$I = \frac{M}{8abc} \int_{-a}^{a} dx \int_{-b}^{b} \left[ y^2 z + \frac{z^3}{3} \right]_{-c}^{c} dy$

$I = \frac{M}{8abc} \int_{-a}^{a} dx \int_{-b}^{b} \left( 2cy^2 + \frac{2c^3}{3} \right) dy$

$I = \frac{M}{8abc} \int_{-a}^{a} dx \left[ \frac{2cy^3}{3} + \frac{2c^3y}{3} \right]_{-b}^{b}$

$I = \frac{M}{8abc} \int_{-a}^{a} \left( \frac{4cb^3}{3} + \frac{4bc^3}{3} \right) dx$

$I = \frac{M}{8abc} \left( \frac{4cb^3}{3} + \frac{4bc^3}{3} \right) \int_{-a}^{a} dx$

$I = \frac{M}{8abc} \left( \frac{4cb^3}{3} + \frac{4bc^3}{3} \right) (2a)$

$I = \frac{M}{8abc} \cdot \frac{8abc}{3} (b^2 + c^2)$

$I = \frac{M}{3} (b^2 + c^2)$

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3. 最終的な答え

$I = \frac{1}{3}M(b^2 + c^2)$