ベクトル $\vec{A} = \vec{e}_x + 2\vec{e}_y - 4\vec{e}_z$ と $\vec{B} = 2\vec{e}_x - \vec{e}_y + 2\vec{e}_z$ が与えられています。 (1) ベクトル $\vec{A}$ の大きさ $|\vec{A}|$ を求めます。 (2) ベクトル $\vec{B}$ 方向の単位ベクトル $\hat{B}$ を求めます。 (3) ベクトル $\vec{A}$ と $\vec{B}$ のスカラー積（内積） $\vec{A} \cdot \vec{B}$ を求めます。

## 問題1

1. **問題の内容**

ベクトル $\vec{A} = \vec{e}_x + 2\vec{e}_y - 4\vec{e}_z$ と $\vec{B} = 2\vec{e}_x - \vec{e}_y + 2\vec{e}_z$ が与えられています。

(1) ベクトル $\vec{A}$ の大きさ $|\vec{A}|$ を求めます。

(2) ベクトル $\vec{B}$ 方向の単位ベクトル $\hat{B}$ を求めます。

(3) ベクトル $\vec{A}$ と $\vec{B}$ のスカラー積（内積） $\vec{A} \cdot \vec{B}$ を求めます。

2. **解き方の手順**

(1) ベクトル $\vec{A}$ の大きさ $|\vec{A}|$ は、各成分の二乗の和の平方根で計算されます。

$|\vec{A}| = \sqrt{A_x^2 + A_y^2 + A_z^2}$

$\vec{A} = \vec{e}_x + 2\vec{e}_y - 4\vec{e}_z$ より、$A_x = 1$, $A_y = 2$, $A_z = -4$ なので、

$|\vec{A}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-4)^2} = \sqrt{1 + 4 + 16} = \sqrt{21}$

(2) ベクトル $\vec{B}$ 方向の単位ベクトル $\hat{B}$ は、ベクトル $\vec{B}$ をその大きさ $|\vec{B}|$ で割ることで求められます。

$\hat{B} = \frac{\vec{B}}{|\vec{B}|}$

まず、ベクトル $\vec{B}$ の大きさ $|\vec{B}|$ を計算します。

$|\vec{B}| = \sqrt{B_x^2 + B_y^2 + B_z^2}$

$\vec{B} = 2\vec{e}_x - \vec{e}_y + 2\vec{e}_z$ より、$B_x = 2$, $B_y = -1$, $B_z = 2$ なので、

$|\vec{B}| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3$

したがって、単位ベクトル $\hat{B}$ は、

$\hat{B} = \frac{2\vec{e}_x - \vec{e}_y + 2\vec{e}_z}{3} = \frac{2}{3}\vec{e}_x - \frac{1}{3}\vec{e}_y + \frac{2}{3}\vec{e}_z$

(3) ベクトル $\vec{A}$ と $\vec{B}$ のスカラー積（内積） $\vec{A} \cdot \vec{B}$ は、対応する成分同士の積の和で計算されます。

$\vec{A} \cdot \vec{B} = A_x B_x + A_y B_y + A_z B_z$

$\vec{A} = \vec{e}_x + 2\vec{e}_y - 4\vec{e}_z$、$\vec{B} = 2\vec{e}_x - \vec{e}_y + 2\vec{e}_z$ より、

$\vec{A} \cdot \vec{B} = (1)(2) + (2)(-1) + (-4)(2) = 2 - 2 - 8 = -8$

3. **最終的な答え**

(1) $|\vec{A}| = \sqrt{21}$

(2) $\hat{B} = \frac{2}{3}\vec{e}_x - \frac{1}{3}\vec{e}_y + \frac{2}{3}\vec{e}_z$

(3) $\vec{A} \cdot \vec{B} = -8$

## 問題2

1. **問題の内容**

以下のxについてのスカラー関数の導関数を求めます。

$f(x) = \cos(ax)$

$g(x) = xe^x$

$h(x) = \sqrt{x^2 + 1}$

ただし、$a$ は定数とします。

2. **解き方の手順**

$f(x) = \cos(ax)$ の導関数：合成関数の微分公式を用います。

$\frac{d}{dx} \cos(ax) = -a\sin(ax)$

$g(x) = xe^x$ の導関数：積の微分公式を用います。

$\frac{d}{dx}(uv) = u'v + uv'$

$u = x$、$v = e^x$とおくと、$u' = 1$、$v' = e^x$なので、

$\frac{d}{dx}(xe^x) = 1 \cdot e^x + x \cdot e^x = e^x + xe^x = (x+1)e^x$

$h(x) = \sqrt{x^2 + 1}$ の導関数：合成関数の微分公式と、ルートの微分公式を用います。

$\frac{d}{dx} \sqrt{x^2 + 1} = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 1}} \cdot (2x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$

3. **最終的な答え**

$f'(x) = -a\sin(ax)$

$g'(x) = (x+1)e^x$

$h'(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$

## 問題3

1. **問題の内容**

x軸上を運動する質点の位置が、時間の関数として $x(t) = (1 - 3t)^2$ と与えられています。時間 $t$ における速度 $v(t)$、加速度 $a(t)$ を求めます。

2. **解き方の手順**

速度 $v(t)$ は、位置 $x(t)$ を時間 $t$ で微分することで求められます。

$v(t) = \frac{dx(t)}{dt} = \frac{d}{dt}(1 - 3t)^2 = 2(1 - 3t)(-3) = -6(1 - 3t) = 18t - 6$

加速度 $a(t)$ は、速度 $v(t)$ を時間 $t$ で微分することで求められます。

$a(t) = \frac{dv(t)}{dt} = \frac{d}{dt}(18t - 6) = 18$

3. **最終的な答え**

$v(t) = 18t - 6$

$a(t) = 18$

## 問題4

1. **問題の内容**

ある物体の位置ベクトルが $\vec{r} = t\vec{e}_x + \frac{1}{2}t^2\vec{e}_y$ と表されるとき、この物体の速度 $\vec{v}$、加速度 $\vec{a}$ を求めます。

2. **解き方の手順**

速度 $\vec{v}$ は、位置ベクトル $\vec{r}$ を時間 $t$ で微分することで求められます。

$\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} = \frac{d}{dt}(t\vec{e}_x + \frac{1}{2}t^2\vec{e}_y) = \vec{e}_x + t\vec{e}_y$

加速度 $\vec{a}$ は、速度ベクトル $\vec{v}$ を時間 $t$ で微分することで求められます。

$\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d}{dt}(\vec{e}_x + t\vec{e}_y) = \vec{e}_y$

3. **最終的な答え**

$\vec{v} = \vec{e}_x + t\vec{e}_y$

$\vec{a} = \vec{e}_y$

## 問題5

1. **問題の内容**

xy平面上を運動する質点の位置ベクトルが、時間の関数として $\vec{r} = R\cos(\omega t)\vec{e}_x + R\sin(\omega t)\vec{e}_y$ と表されるとき、この質点の速度ベクトル $\vec{v}$ および加速度ベクトル $\vec{a}$ を求めます。ただし、$R$、$\omega$ は時間によらない定数とします。

2. **解き方の手順**

速度ベクトル $\vec{v}$ は、位置ベクトル $\vec{r}$ を時間 $t$ で微分することで求められます。

$\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} = \frac{d}{dt}(R\cos(\omega t)\vec{e}_x + R\sin(\omega t)\vec{e}_y) = -R\omega\sin(\omega t)\vec{e}_x + R\omega\cos(\omega t)\vec{e}_y$

加速度ベクトル $\vec{a}$ は、速度ベクトル $\vec{v}$ を時間 $t$ で微分することで求められます。

$\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d}{dt}(-R\omega\sin(\omega t)\vec{e}_x + R\omega\cos(\omega t)\vec{e}_y) = -R\omega^2\cos(\omega t)\vec{e}_x - R\omega^2\sin(\omega t)\vec{e}_y = -\omega^2 (R\cos(\omega t)\vec{e}_x + R\sin(\omega t)\vec{e}_y) = -\omega^2 \vec{r}$

3. **最終的な答え**

$\vec{v} = -R\omega\sin(\omega t)\vec{e}_x + R\omega\cos(\omega t)\vec{e}_y$

$\vec{a} = -R\omega^2\cos(\omega t)\vec{e}_x - R\omega^2\sin(\omega t)\vec{e}_y = -\omega^2 \vec{r}$

## 問題6

1. **問題の内容**

駆動力10,000Nのエンジンを搭載した質量10,000kgのジェット機が、800km/hの等速度で進むとき、ジェット機に働く合力はいくらか求めてください。

2. **解き方の手順**

ジェット機が等速度で進んでいるので、加速度は0です。ニュートンの運動法則より、合力は質量と加速度の積に等しくなります。

$F = ma$

加速度が0なので、合力も0です。

3. **最終的な答え**

0 N

## 問題7

1. **問題の内容**

水平で摩擦のないスケートリンクの上にいる体重60kgの人を、5m/s²で加速するには、どれだけの力で引けばよいか求めてください。

2. **解き方の手順**

ニュートンの運動法則を利用します。力 $F$ は質量 $m$ と加速度 $a$ の積で表されます。

$F = ma$

質量 $m = 60$ kg、加速度 $a = 5$ m/s² を代入します。

$F = (60 \text{ kg})(5 \text{ m/s}^2) = 300 \text{ N}$

3. **最終的な答え**

300 N

## 問題8

1. **問題の内容**

机の上に置かれた本に働く重力と、作用反作用の関係にある力は何か答えてください。

2. **解き方の手順**

重力は、地球が本を引っ張る力です。作用反作用の法則によれば、本も地球を引っ張る力で反作用しています。

3. **最終的な答え**

本が地球を引っ張る力