$^{99m}$Tcは$^{99}$Moとの放射平衡を利用したミルキングという手法により精製される。$^{99}$Moの初期放射能が5.0 GBqのとき、33時間後と66時間後にミルキングを行い、2回のミルキングによって得られる$^{99m}$Tcの放射能の合計をBq単位で求める問題である。ただし、$^{99}$Moの半減期は66時間、$^{99m}$Tcの半減期は6時間とする。また、A→B→Cという逐次反応において、Bの濃度は与えられた式で表される。

1. 問題の内容

$^{99m}$Tcは$^{99}$Moとの放射平衡を利用したミルキングという手法により精製される。$^{99}$Moの初期放射能が5.0 GBqのとき、33時間後と66時間後にミルキングを行い、2回のミルキングによって得られる$^{99m}$Tcの放射能の合計をBq単位で求める問題である。ただし、$^{99}$Moの半減期は66時間、$^{99m}$Tcの半減期は6時間とする。また、A→B→Cという逐次反応において、Bの濃度は与えられた式で表される。

2. 解き方の手順

まず、速度定数$k_1$と$k_2$を計算する。半減期$T_{1/2}$と速度定数$k$の関係は、$k = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}$で与えられる。したがって、

$k_1 = \frac{\ln 2}{66} \approx 0.0105 \text{ h}^{-1}$

$k_2 = \frac{\ln 2}{6} \approx 0.1155 \text{ h}^{-1}$

次に、1回目のミルキングで得られる$^{99m}$Tcの放射能を計算する。これは33時間後の$^{99m}$Tcの放射能に相当する。与えられた式に$A_0 = 5.0 \times 10^9 \text{ Bq}$（初期放射能）、$t = 33 \text{ h}$を代入する。

$B_1 = \frac{k_1 A_0}{k_1 - k_2} (e^{-k_2 t} - e^{-k_1 t})$

$B_1 = \frac{0.0105 \times 5.0 \times 10^9}{0.0105 - 0.1155} (e^{-0.1155 \times 33} - e^{-0.0105 \times 33})$

$B_1 = \frac{5.25 \times 10^7}{-0.105} (e^{-3.8115} - e^{-0.3465})$

$B_1 = -5.0 \times 10^8 (0.0221 - 0.7071)$

$B_1 = -5.0 \times 10^8 (-0.685)$

$B_1 = 3.425 \times 10^8 \text{ Bq}$

次に、2回目のミルキングでの$^{99}$Moの初期放射能を計算する。これは33時間後の$^{99}$Moの放射能に相当する。$^{99}$Moの減衰式は$A(t) = A_0 e^{-k_1 t}$で与えられる。

$A_{33} = A_0 e^{-k_1 t} = 5.0 \times 10^9 \times e^{-0.0105 \times 33} = 5.0 \times 10^9 \times e^{-0.3465} = 5.0 \times 10^9 \times 0.7071 \approx 3.5355 \times 10^9 \text{ Bq}$

2回目のミルキングで得られる$^{99m}$Tcの放射能を計算する。今度は初期放射能が$A_0 = 3.5355 \times 10^9 \text{ Bq}$、時間$t = 33 \text{ h}$である。

$B_2 = \frac{k_1 A_0}{k_1 - k_2} (e^{-k_2 t} - e^{-k_1 t})$

$B_2 = \frac{0.0105 \times 3.5355 \times 10^9}{0.0105 - 0.1155} (e^{-0.1155 \times 33} - e^{-0.0105 \times 33})$

$B_2 = \frac{3.7123 \times 10^7}{-0.105} (e^{-3.8115} - e^{-0.3465})$

$B_2 = -3.5355 \times 10^8 (0.0221 - 0.7071)$

$B_2 = -3.5355 \times 10^8 (-0.685)$

$B_2 = 2.421 \times 10^8 \text{ Bq}$

最後に、2回のミルキングで得られる$^{99m}$Tcの放射能の合計を計算する。

$B = B_1 + B_2 = 3.425 \times 10^8 + 2.421 \times 10^8 = 5.846 \times 10^8 \text{ Bq}$

3. 最終的な答え

$5.846 \times 10^8$ Bq