(1) 図において、$x$ の値と三角形 ABC の面積を求める。 (2) 半径が 5 cm の球の表面積と体積を求める。

1. 問題の内容

(1) 図において、$x$ の値と三角形 ABC の面積を求める。

(2) 半径が 5 cm の球の表面積と体積を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、三角形 ABD と三角形 ADC が直角三角形であることに注目します。

三平方の定理より、

三角形 ABD において、$x^2 + 4^2 = (AD)^2$

三角形 ADC において、$x^2 + 8^2 = 10^2$

したがって、$x^2 + 16 = (AD)^2$

$x^2 + 64 = 100$

$x^2 = 100 - 64 = 36$

$x = \sqrt{36} = 6$

次に、三角形 ABC の面積を求めます。

三角形 ABC の底辺は BC = 4 + 8 = 12 cm であり、高さは AD = x = 6 cm です。

したがって、三角形 ABC の面積は、$\frac{1}{2} \times 12 \times 6 = 36$ $cm^2$ です。

(2)

半径 $r$ の球の表面積 $S$ は、$S = 4\pi r^2$ であり、体積 $V$ は $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ で表されます。

半径が 5 cm の球の場合、$r = 5$ であるため、

表面積 $S = 4\pi (5^2) = 4\pi \times 25 = 100\pi$ $cm^2$

体積 $V = \frac{4}{3}\pi (5^3) = \frac{4}{3}\pi \times 125 = \frac{500}{3}\pi$ $cm^3$

3. 最終的な答え

(1)

$x = 6$ cm

三角形 ABC の面積: 36 $cm^2$

(2)

表面積: $100\pi$ $cm^2$

体積: $\frac{500}{3}\pi$ $cm^3$