底面の半径が 10 cm、母線の長さが 24 cm の円錐の表面積を求めよ。

1. 問題の内容

底面の半径が 10 cm、母線の長さが 24 cm の円錐の表面積を求めよ。

2. 解き方の手順

円錐の表面積は、側面積と底面積の和で求められます。

まず、側面積を求めます。側面積は、展開図のおうぎ形の面積に相当します。おうぎ形の弧の長さは、底面の円周の長さに等しく、おうぎ形の半径は母線の長さに等しいです。

おうぎ形の中心角を $\alpha$ とすると、

$2\pi \times 24 \times \frac{\alpha}{360} = 2\pi \times 10$

これを解いて $\alpha$ を求めます。

$24 \times \frac{\alpha}{360} = 10$

$\frac{\alpha}{360} = \frac{10}{24} = \frac{5}{12}$

$\alpha = 360 \times \frac{5}{12} = 30 \times 5 = 150$

したがって、$\alpha = 150$ 度です。

側面積は、

$\pi \times 24^2 \times \frac{150}{360} = \pi \times 576 \times \frac{5}{12} = \pi \times 48 \times 5 \times \frac{12}{12} = 240\pi$

次に、底面積を求めます。底面積は、半径 10 cm の円の面積なので、

$\pi \times 10^2 = 100\pi$

したがって、円錐の表面積は、

$240\pi + 100\pi = 340\pi$

3. 最終的な答え

$340\pi \text{ cm}^2$