底面の半径が8cm、高さが12cmの円錐Pを底面に平行な面で切り、円錐Qと、PからQを取り除いた立体Aに分ける。円錐PとQの高さの比が4:3であるとき、立体Aの体積を求める。

1. 問題の内容

底面の半径が8cm、高さが12cmの円錐Pを底面に平行な面で切り、円錐Qと、PからQを取り除いた立体Aに分ける。円錐PとQの高さの比が4:3であるとき、立体Aの体積を求める。

2. 解き方の手順

まず、円錐Pの体積を求めます。

円錐の体積は $V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$ で与えられます。

ここで、$r=8$ cm、$h=12$ cmなので、

$V_P = \frac{1}{3} \pi (8^2) (12) = \frac{1}{3} \pi (64)(12) = 256 \pi$ cm$^3$

次に、円錐Qの体積を求めます。

円錐PとQの高さの比が4:3なので、相似比は4:3です。

体積比は相似比の3乗なので、$4^3 : 3^3 = 64:27$となります。

したがって、円錐Qの体積は

$V_Q = V_P \times \frac{27}{64} = 256 \pi \times \frac{27}{64} = 4 \pi \times 27 = 108 \pi$ cm$^3$

最後に、立体Aの体積を求めます。

立体Aの体積は、円錐Pの体積から円錐Qの体積を引いたものです。

$V_A = V_P - V_Q = 256 \pi - 108 \pi = 148 \pi$ cm$^3$

3. 最終的な答え

立体Aの体積は $148\pi$ cm$^3$ です。