半径5cmの球の体積と、底面の半径が$R$cmで高さが10cmの円柱の体積が等しいとき、$R$を求める問題です。

1. 問題の内容

半径5cmの球の体積と、底面の半径が$R$cmで高さが10cmの円柱の体積が等しいとき、$R$を求める問題です。

2. 解き方の手順

球の体積の公式は、半径を$r$とすると $\frac{4}{3}\pi r^3$ です。

半径5cmの球の体積は、

$\frac{4}{3}\pi (5)^3 = \frac{4}{3}\pi (125) = \frac{500}{3}\pi$ cm$^3$

円柱の体積の公式は、底面の半径を$r$, 高さを$h$とすると $\pi r^2 h$ です。

底面の半径が$R$cm、高さが10cmの円柱の体積は、

$\pi R^2 (10) = 10\pi R^2$ cm$^3$

問題文より、球の体積と円柱の体積が等しいので、

$\frac{500}{3}\pi = 10\pi R^2$

$R^2 = \frac{500\pi}{3} \div 10\pi = \frac{500\pi}{3} \times \frac{1}{10\pi} = \frac{500}{30} = \frac{50}{3}$

$R = \sqrt{\frac{50}{3}} = \sqrt{\frac{50 \times 3}{3 \times 3}} = \sqrt{\frac{150}{9}} = \frac{\sqrt{150}}{3} = \frac{\sqrt{25 \times 6}}{3} = \frac{5\sqrt{6}}{3}$

3. 最終的な答え

$R = \frac{5\sqrt{6}}{3}$ cm