問題は以下の2つです。 (5) 極座標表示された点AとBに対して、三角形OABの周の長さと面積を求める。ただしOは原点。Aの極座標は $(8, \frac{\pi}{2})$、Bの極座標は $(5, \frac{\pi}{6})$。 (6) 2次関数 $y = 2x^2 + 2x - 12$ をy軸に関して対称移動した式を求める。

はい、承知しました。問題文に沿って丁寧に回答します。

1. 問題の内容

問題は以下の2つです。

(5) 極座標表示された点AとBに対して、三角形OABの周の長さと面積を求める。ただしOは原点。Aの極座標は $(8, \frac{\pi}{2})$、Bの極座標は $(5, \frac{\pi}{6})$。

(6) 2次関数 $y = 2x^2 + 2x - 12$ をy軸に関して対称移動した式を求める。

2. 解き方の手順

(5) (i) 三角形OABの周の長さを求める。

まず、OA, OBの長さは極座標の動径rで表されるので、それぞれ8と5である。次に、ABの長さを余弦定理を用いて求める。∠AOBの角度は $\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$である。

よって、$AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2OA \cdot OB \cos(\angle AOB)$

$AB^2 = 8^2 + 5^2 - 2 \cdot 8 \cdot 5 \cos(\frac{\pi}{3}) = 64 + 25 - 80 \cdot \frac{1}{2} = 89 - 40 = 49$

$AB = \sqrt{49} = 7$

したがって、三角形OABの周の長さは$OA + OB + AB = 8 + 5 + 7 = 20$

(5) (ii) 三角形OABの面積を求める。

三角形OABの面積は、$\frac{1}{2}OA \cdot OB \sin(\angle AOB)$で求められる。

$\angle AOB = \frac{\pi}{3}$なので、$\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

したがって、三角形OABの面積は$\frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}$

(6) 2次関数 $y = 2x^2 + 2x - 12$ をy軸に関して対称移動すると、$x$を$-x$に置き換える。

したがって、$y = 2(-x)^2 + 2(-x) - 12 = 2x^2 - 2x - 12$

3. 最終的な答え

(5)

(i) 三角形OABの周の長さ：20

(ii) 三角形OABの面積：$10\sqrt{3}$

(6) y軸に関して対称移動した式：$y = 2x^2 - 2x - 12$