図において、$\angle x$ と $\angle y$ の大きさを求めよ。

1. 問題の内容

図において、$\angle x$ と $\angle y$ の大きさを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、四角形ABCDの内角の和は360度であるから、$\angle ADC$ を求める。

$\angle ADC = 360^\circ - (30^\circ + 57^\circ + 42^\circ) = 360^\circ - 129^\circ = 231^\circ$

ここで、$\angle ADC$ は $\angle x$ と $\angle y$ の外角になっている。

$\angle x + 57^\circ = \angle ADC$ より、$\angle x = \angle ADC - 57^\circ$

$\angle y + 30^\circ = \angle ADC$ より、$\angle y = \angle ADC - 30^\circ$

四角形ABCDの内角の和が360度であることから、以下のように求める。

$\angle DAB + \angle ABC + \angle BCD + \angle CDA = 360^\circ$

ここで、

$\angle DAB = \angle y$

$\angle ABC = 30^\circ + 57^\circ = 87^\circ$

$\angle BCD = 42^\circ$

$\angle CDA = \angle x$

よって、$\angle y + 87^\circ + 42^\circ + \angle x = 360^\circ$

$\angle x + \angle y = 360^\circ - 87^\circ - 42^\circ = 360^\circ - 129^\circ = 231^\circ$

円周角の定理を利用する。$\angle CBD = 57^\circ$ なので、$\angle CAD = 57^\circ$ である。

同様に、$\angle ACB = 42^\circ$ なので、$\angle ADB = 42^\circ$ である。

三角形ABDにおいて、$\angle BAD = \angle y$ , $\angle ABD = 30^\circ$ , $\angle ADB = 42^\circ$ であるから、

$\angle y = 180^\circ - 30^\circ - 42^\circ = 108^\circ$ である。

同様に、三角形BCDにおいて、$\angle CBD = 57^\circ$ , $\angle BCD = \angle x$ , $\angle BDC = 42^\circ$ であるから、

$\angle x = 180^\circ - 57^\circ - 42^\circ = 81^\circ$ である。

3. 最終的な答え

$\angle x = 81^\circ$

$\angle y = 108^\circ$