半径5cmの球の体積と、底面の半径が$R$cmで高さが10cmの円錐の体積が等しいとき、$R$を求める。

1. 問題の内容

半径5cmの球の体積と、底面の半径が$R$cmで高さが10cmの円錐の体積が等しいとき、$R$を求める。

2. 解き方の手順

まず、半径5cmの球の体積を求める。球の体積は$V = \frac{4}{3}\pi r^3$で求められるので、$r = 5$を代入する。

$V_{球} = \frac{4}{3}\pi (5)^3 = \frac{4}{3}\pi (125) = \frac{500}{3}\pi$

次に、底面の半径が$R$cmで高さが10cmの円錐の体積を求める。円錐の体積は$V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$で求められるので、$r = R$と$h = 10$を代入する。

$V_{円錐} = \frac{1}{3}\pi (R)^2 (10) = \frac{10}{3}\pi R^2$

球の体積と円錐の体積が等しいので、

$\frac{500}{3}\pi = \frac{10}{3}\pi R^2$

両辺に$\frac{3}{\pi}$をかけると、

$500 = 10 R^2$

両辺を10で割ると、

$R^2 = 50$

$R$は正の値なので、$R = \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$R = 5\sqrt{2}$