2点 $A(2,0)$ と $B(0,2)$ が与えられたとき、次の条件を満たす点 $P$ の軌跡の方程式を求め、図示します。 (1) $AP^2 + BP^2 = 6$ (2) $AP : BP = 1 : 2$ (3) $AP^2 - BP^2 = 4$

はい、承知いたしました。問題文を解いていきます。

1. 問題の内容

2点 $A(2,0)$ と $B(0,2)$ が与えられたとき、次の条件を満たす点 $P$ の軌跡の方程式を求め、図示します。

(1) $AP^2 + BP^2 = 6$

(2) $AP : BP = 1 : 2$

(3) $AP^2 - BP^2 = 4$

2. 解き方の手順

点 $P$ の座標を $(x, y)$ とします。

(1) $AP^2 + BP^2 = 6$ について

$AP^2 = (x - 2)^2 + (y - 0)^2 = (x - 2)^2 + y^2$

$BP^2 = (x - 0)^2 + (y - 2)^2 = x^2 + (y - 2)^2$

$AP^2 + BP^2 = (x - 2)^2 + y^2 + x^2 + (y - 2)^2 = 6$

$x^2 - 4x + 4 + y^2 + x^2 + y^2 - 4y + 4 = 6$

$2x^2 - 4x + 2y^2 - 4y + 8 = 6$

$2x^2 - 4x + 2y^2 - 4y + 2 = 0$

$x^2 - 2x + y^2 - 2y + 1 = 0$

$(x^2 - 2x + 1) + (y^2 - 2y + 1) = 1$

$(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 1$

これは、中心 $(1, 1)$、半径 $1$ の円を表します。

(2) $AP : BP = 1 : 2$ について

$2AP = BP$

$4AP^2 = BP^2$

$4((x - 2)^2 + y^2) = x^2 + (y - 2)^2$

$4(x^2 - 4x + 4 + y^2) = x^2 + y^2 - 4y + 4$

$4x^2 - 16x + 16 + 4y^2 = x^2 + y^2 - 4y + 4$

$3x^2 - 16x + 3y^2 + 4y + 12 = 0$

$3(x^2 - \frac{16}{3}x) + 3(y^2 + \frac{4}{3}y) + 12 = 0$

$3(x - \frac{8}{3})^2 - 3(\frac{64}{9}) + 3(y + \frac{2}{3})^2 - 3(\frac{4}{9}) + 12 = 0$

$3(x - \frac{8}{3})^2 + 3(y + \frac{2}{3})^2 = \frac{64}{3} + \frac{4}{3} - 12 = \frac{68}{3} - \frac{36}{3} = \frac{32}{3}$

$(x - \frac{8}{3})^2 + (y + \frac{2}{3})^2 = \frac{32}{9}$

これは、中心 $(\frac{8}{3}, -\frac{2}{3})$、半径 $\frac{\sqrt{32}}{3} = \frac{4\sqrt{2}}{3}$ の円を表します。

(3) $AP^2 - BP^2 = 4$ について

$(x - 2)^2 + y^2 - (x^2 + (y - 2)^2) = 4$

$x^2 - 4x + 4 + y^2 - (x^2 + y^2 - 4y + 4) = 4$

$x^2 - 4x + 4 + y^2 - x^2 - y^2 + 4y - 4 = 4$

$-4x + 4y = 4$

$-x + y = 1$

$y = x + 1$

これは、傾きが $1$ で、y切片が $1$ の直線を表します。

3. 最終的な答え

(1) $(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 1$ (中心 $(1, 1)$、半径 $1$ の円)

(2) $(x - \frac{8}{3})^2 + (y + \frac{2}{3})^2 = \frac{32}{9}$ (中心 $(\frac{8}{3}, -\frac{2}{3})$、半径 $\frac{4\sqrt{2}}{3}$ の円)

(3) $y = x + 1$ (傾き $1$、y切片 $1$ の直線)