極座標の方程式 $5r^2 \cos^2 \theta + 4r^2 = 36$ を直交座標の方程式に変換し、グラフの概形を描く。

1. 問題の内容

極座標の方程式 $5r^2 \cos^2 \theta + 4r^2 = 36$ を直交座標の方程式に変換し、グラフの概形を描く。

2. 解き方の手順

ステップ1: 極座標と直交座標の関係式を確認する。

極座標 $(r, \theta)$ と直交座標 $(x, y)$ の間には、以下の関係があります。

$x = r \cos \theta$

$y = r \sin \theta$

$r^2 = x^2 + y^2$

ステップ2: 極座標の方程式を直交座標の方程式に変換する。

与えられた極座標の方程式は、

$5r^2 \cos^2 \theta + 4r^2 = 36$

この式に、$x = r \cos \theta$と $r^2 = x^2 + y^2$を代入すると、

$5x^2 + 4(x^2 + y^2) = 36$

整理すると、

$9x^2 + 4y^2 = 36$

ステップ3: 標準形に変形する。

両辺を36で割ると、

$\frac{9x^2}{36} + \frac{4y^2}{36} = 1$

$\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1$

$\frac{x^2}{2^2} + \frac{y^2}{3^2} = 1$

ステップ4: グラフを描く。

この方程式は、楕円を表しています。x軸方向に半径2、y軸方向に半径3を持つ楕円です。中心は原点(0,0)にあります。

3. 最終的な答え

直交座標の方程式: $\frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9} = 1$

グラフ: 中心が原点で、x軸方向に半径2、y軸方向に半径3の楕円。