(1) 4点(0,0,0), (2,2,1), (1,2,2), (2,1,2)を頂点とする四面体の体積を求める問題。 (2) xy平面上の3点(-2,0), (1,0), (0,2)を頂点とする三角形をx軸を中心に回転させたときの回転体の体積を求める問題。 (3) 円 $x^2 + (y-1)^2 \le 1$ をx軸を中心に回転させたときの回転体の体積を求める問題。

はい、承知いたしました。問題を解いていきましょう。

1. 問題の内容

(1) 4点(0,0,0), (2,2,1), (1,2,2), (2,1,2)を頂点とする四面体の体積を求める問題。

(2) xy平面上の3点(-2,0), (1,0), (0,2)を頂点とする三角形をx軸を中心に回転させたときの回転体の体積を求める問題。

(3) 円 $x^2 + (y-1)^2 \le 1$ をx軸を中心に回転させたときの回転体の体積を求める問題。

2. 解き方の手順

(1) 四面体の体積は、3つのベクトルを $\vec{a}=(2,2,1)$, $\vec{b}=(1,2,2)$, $\vec{c}=(2,1,2)$ とすると、

$V = \frac{1}{6} | \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) |$ で求められます。

まず、$\vec{b} \times \vec{c}$ を計算します。

$\vec{b} \times \vec{c} = (2 \cdot 2 - 2 \cdot 1, 2 \cdot 2 - 1 \cdot 2, 1 \cdot 1 - 2 \cdot 2) = (4-2, 4-2, 1-4) = (2,2,-3)$.

次に、$\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})$ を計算します。

$\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = 2 \cdot 2 + 2 \cdot 2 + 1 \cdot (-3) = 4 + 4 - 3 = 5$.

よって、$V = \frac{1}{6} |5| = \frac{5}{6}$ となります。

(2) 回転体の体積は、パップス・ギュルダンの定理を利用します。三角形の面積をS、重心のy座標を $y_G$ とすると、回転体の体積Vは $V = 2\pi y_G S$ で与えられます。

三角形の面積は $S = \frac{1}{2} \cdot (1 - (-2)) \cdot 2 = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 2 = 3$。

重心の座標は、$y_G = \frac{0+0+2}{3} = \frac{2}{3}$.

よって、$V = 2\pi \cdot \frac{2}{3} \cdot 3 = 4\pi$.

(3) 円 $x^2 + (y-1)^2 \le 1$ をx軸を中心に回転させると、これはトーラス（ドーナツ型）になります。

トーラスの体積は、$V = 2\pi^2 R r^2$ で与えられます。ここでRは回転軸からの距離(円の中心のy座標)、rは円の半径です。

この問題では、R=1, r=1なので、$V = 2\pi^2 \cdot 1 \cdot 1^2 = 2\pi^2$.

3. 最終的な答え

(1) $\frac{5}{6}$

(2) $4$

(3) $2$