(1) $\lim_{x\to\infty} \frac{7x^2-6x-5}{4x^2+2x+1}$ の極限を求めよ。 (2) $\lim_{x\to1} \frac{\sqrt{x}-\sqrt{2-x}}{x-1}$ の極限を求めよ。

1. 問題の内容

(1) $\lim_{x\to\infty} \frac{7x^2-6x-5}{4x^2+2x+1}$ の極限を求めよ。

(2) $\lim_{x\to1} \frac{\sqrt{x}-\sqrt{2-x}}{x-1}$ の極限を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 分子と分母を $x^2$ で割る。

$\lim_{x\to\infty} \frac{7x^2-6x-5}{4x^2+2x+1} = \lim_{x\to\infty} \frac{7-\frac{6}{x}-\frac{5}{x^2}}{4+\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}}$

$x\to\infty$ のとき、$\frac{1}{x}\to 0$、$\frac{1}{x^2}\to 0$ であるから、

$\lim_{x\to\infty} \frac{7-\frac{6}{x}-\frac{5}{x^2}}{4+\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}} = \frac{7-0-0}{4+0+0} = \frac{7}{4}$

(2) 分子を有理化する。

$\frac{\sqrt{x}-\sqrt{2-x}}{x-1} = \frac{(\sqrt{x}-\sqrt{2-x})(\sqrt{x}+\sqrt{2-x})}{(x-1)(\sqrt{x}+\sqrt{2-x})} = \frac{x-(2-x)}{(x-1)(\sqrt{x}+\sqrt{2-x})} = \frac{2x-2}{(x-1)(\sqrt{x}+\sqrt{2-x})} = \frac{2(x-1)}{(x-1)(\sqrt{x}+\sqrt{2-x})} = \frac{2}{\sqrt{x}+\sqrt{2-x}}$

よって、

$\lim_{x\to1} \frac{\sqrt{x}-\sqrt{2-x}}{x-1} = \lim_{x\to1} \frac{2}{\sqrt{x}+\sqrt{2-x}} = \frac{2}{\sqrt{1}+\sqrt{2-1}} = \frac{2}{1+1} = \frac{2}{2} = 1$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{7}{4}$

(2) $1$