関数 $f(x)$ が以下のように定義されている。 $f(x) = \begin{cases} x^2 \cos(\frac{1}{x}) & (x \neq 0) \\ 0 & (x = 0) \end{cases}$ この関数について、以下の問いに答える。 (1) $f(x)$ が $x=0$ で連続であることを示す。 (2) 定義に従い、$f'(0)$ の値を求める。 (3) 積の微分則と合成関数の微分則を使い、$x \neq 0$ での導関数 $f'(x)$ を求める。 (4) $f'(x)$ は $x=0$ で連続か。

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ が以下のように定義されている。

$f(x) = \begin{cases} x^2 \cos(\frac{1}{x}) & (x \neq 0) \\ 0 & (x = 0) \end{cases}$

この関数について、以下の問いに答える。

(1) $f(x)$ が $x=0$ で連続であることを示す。

(2) 定義に従い、$f'(0)$ の値を求める。

(3) 積の微分則と合成関数の微分則を使い、$x \neq 0$ での導関数 $f'(x)$ を求める。

(4) $f'(x)$ は $x=0$ で連続か。

2. 解き方の手順

(1) $f(x)$ が $x=0$ で連続であるためには、$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$ が成り立つ必要がある。$f(0) = 0$ であるから、$\lim_{x \to 0} x^2 \cos(\frac{1}{x}) = 0$ を示す。

$-1 \leq \cos(\frac{1}{x}) \leq 1$ より、 $-x^2 \leq x^2 \cos(\frac{1}{x}) \leq x^2$ である。$\lim_{x \to 0} -x^2 = 0$ かつ $\lim_{x \to 0} x^2 = 0$ であるから、挟みうちの原理より、$\lim_{x \to 0} x^2 \cos(\frac{1}{x}) = 0$ となる。したがって、$f(x)$ は $x=0$ で連続である。

(2) $f'(0)$ の定義は $f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(0+h) - f(0)}{h}$ である。

$f(0) = 0$ であるから、$f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h^2 \cos(\frac{1}{h})}{h} = \lim_{h \to 0} h \cos(\frac{1}{h})$ となる。

$-1 \leq \cos(\frac{1}{h}) \leq 1$ より、 $-|h| \leq h \cos(\frac{1}{h}) \leq |h|$ である。$\lim_{h \to 0} -|h| = 0$ かつ $\lim_{h \to 0} |h| = 0$ であるから、挟みうちの原理より、$\lim_{h \to 0} h \cos(\frac{1}{h}) = 0$ となる。したがって、$f'(0) = 0$ である。

(3) $x \neq 0$ のとき、$f(x) = x^2 \cos(\frac{1}{x})$ である。積の微分則を用いると、

$f'(x) = (x^2)' \cos(\frac{1}{x}) + x^2 (\cos(\frac{1}{x}))'$

$= 2x \cos(\frac{1}{x}) + x^2 (-\sin(\frac{1}{x}) \cdot (-\frac{1}{x^2}))$

$= 2x \cos(\frac{1}{x}) + \sin(\frac{1}{x})$

(4) $f'(x)$ が $x=0$ で連続であるためには、$\lim_{x \to 0} f'(x) = f'(0)$ が成り立つ必要がある。$f'(0) = 0$ である。

$\lim_{x \to 0} f'(x) = \lim_{x \to 0} (2x \cos(\frac{1}{x}) + \sin(\frac{1}{x}))$

$\lim_{x \to 0} 2x \cos(\frac{1}{x}) = 0$ であることは(1)と同様に示せるが、$\lim_{x \to 0} \sin(\frac{1}{x})$ は存在しない。

したがって、$\lim_{x \to 0} f'(x)$ は存在しないので、$f'(x)$ は $x=0$ で連続ではない。

3. 最終的な答え

(1) $f(x)$ は $x=0$ で連続である。

(2) $f'(0) = 0$

(3) $x \neq 0$ のとき、$f'(x) = 2x \cos(\frac{1}{x}) + \sin(\frac{1}{x})$

(4) $f'(x)$ は $x=0$ で連続ではない。