次の2階微分方程式の一般解を求めます。 (a) $y'' - 4y' + 8y = 0$ (b) $\frac{d^2y}{dx^2} - 5\frac{dy}{dx} + 6y = 0$ (c) $\frac{d^2y}{dx^2} + 4\frac{dy}{dx} + 4y = 0$ (d) $y'' - \beta^2 y = 0$ (ただし、$\beta > 0$) (e) $y'' + \omega^2 y = 0$ (ただし、$\omega > 0$) (f) $y'' - 2y' + y = 6$

1. 問題の内容

次の2階微分方程式の一般解を求めます。

(a) $y'' - 4y' + 8y = 0$

(b) $\frac{d^2y}{dx^2} - 5\frac{dy}{dx} + 6y = 0$

(c) $\frac{d^2y}{dx^2} + 4\frac{dy}{dx} + 4y = 0$

(d) $y'' - \beta^2 y = 0$ (ただし、$\beta > 0$)

(e) $y'' + \omega^2 y = 0$ (ただし、$\omega > 0$)

(f) $y'' - 2y' + y = 6$

2. 解き方の手順

(a) $y'' - 4y' + 8y = 0$

特性方程式は、$r^2 - 4r + 8 = 0$。

解は、$r = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 32}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{-16}}{2} = 2 \pm 2i$。

したがって、一般解は、$y = e^{2x}(C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x))$。

(b) $\frac{d^2y}{dx^2} - 5\frac{dy}{dx} + 6y = 0$

特性方程式は、$r^2 - 5r + 6 = 0$。

解は、$(r-2)(r-3)=0$ より $r = 2, 3$。

したがって、一般解は、$y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{3x}$。

(c) $\frac{d^2y}{dx^2} + 4\frac{dy}{dx} + 4y = 0$

特性方程式は、$r^2 + 4r + 4 = 0$。

解は、$(r+2)^2 = 0$ より $r = -2$ (重解)。

したがって、一般解は、$y = (C_1 + C_2 x)e^{-2x}$。

(d) $y'' - \beta^2 y = 0$ ($\beta > 0$)

特性方程式は、$r^2 - \beta^2 = 0$。

解は、$r = \pm \beta$。

したがって、一般解は、$y = C_1 e^{\beta x} + C_2 e^{-\beta x}$。 または、$y = A \cosh(\beta x) + B \sinh(\beta x)$。

(e) $y'' + \omega^2 y = 0$ ($\omega > 0$)

特性方程式は、$r^2 + \omega^2 = 0$。

解は、$r = \pm i\omega$。

したがって、一般解は、$y = C_1 \cos(\omega x) + C_2 \sin(\omega x)$。

(f) $y'' - 2y' + y = 6$

斉次方程式 $y'' - 2y' + y = 0$ の特性方程式は、$r^2 - 2r + 1 = 0$。

解は、$(r-1)^2 = 0$ より $r = 1$ (重解)。

したがって、斉次方程式の一般解は、$y_h = (C_1 + C_2 x)e^x$。

特殊解として、$y_p = A$ と仮定すると、$y_p'' = 0$, $y_p' = 0$。

$0 - 0 + A = 6$ より、$A = 6$。

したがって、特殊解は、$y_p = 6$。

一般解は、$y = y_h + y_p = (C_1 + C_2 x)e^x + 6$。

3. 最終的な答え

(a) $y = e^{2x}(C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x))$

(b) $y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{3x}$

(c) $y = (C_1 + C_2 x)e^{-2x}$

(d) $y = C_1 e^{\beta x} + C_2 e^{-\beta x}$

(e) $y = C_1 \cos(\omega x) + C_2 \sin(\omega x)$

(f) $y = (C_1 + C_2 x)e^x + 6$