$f(x) = x^2 - 2x$、$g(x) = -\frac{1}{2}x^2 + \frac{5}{2}x$ があり、$f'(p) = g'(\frac{1}{2})$を満たしている。 (1) $p$ の値を求める。 (2) $C_1$ と $C_2$ で囲まれた部分のうち、直線 $x=p$ の右側の部分の面積を $S$ とする。$S$ を求める。 (3) $t$ は $\frac{3}{2} < t < p$ を満たす定数とする。$C_1$ と $C_2$ で囲まれた部分のうち、直線 $x=t$ の左側の部分の面積を $T$ とする。$T$ を $t$ を用いて表せ。また、(2) の $S$ に対し、$T=2S$ を満たす $t$ の値は、$\frac{3}{2} < t < p$ においてただ 1 つ存在することを示せ。

1. 問題の内容

$f(x) = x^2 - 2x$、$g(x) = -\frac{1}{2}x^2 + \frac{5}{2}x$ があり、$f'(p) = g'(\frac{1}{2})$を満たしている。

(1) $p$ の値を求める。

(2) $C_1$ と $C_2$ で囲まれた部分のうち、直線 $x=p$ の右側の部分の面積を $S$ とする。$S$ を求める。

(3) $t$ は $\frac{3}{2} < t < p$ を満たす定数とする。$C_1$ と $C_2$ で囲まれた部分のうち、直線 $x=t$ の左側の部分の面積を $T$ とする。$T$ を $t$ を用いて表せ。また、(2) の $S$ に対し、$T=2S$ を満たす $t$ の値は、$\frac{3}{2} < t < p$ においてただ 1 つ存在することを示せ。

2. 解き方の手順

(1) まず、$f'(x)$ と $g'(x)$ を計算します。

$f'(x) = 2x - 2$

$g'(x) = -x + \frac{5}{2}$

次に、$f'(p)$ と $g'(\frac{1}{2})$ を計算します。

$f'(p) = 2p - 2$

$g'(\frac{1}{2}) = -\frac{1}{2} + \frac{5}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$f'(p) = g'(\frac{1}{2})$ より、$2p - 2 = 2$。

これを解いて、$2p = 4$、$p = 2$。

(2) $p=2$ なので、直線 $x=2$ より右側の $f(x)$ と $g(x)$ で囲まれた面積 $S$ を求める。

$f(x) = x^2 - 2x$ と $g(x) = -\frac{1}{2}x^2 + \frac{5}{2}x$ の交点を求める。

$x^2 - 2x = -\frac{1}{2}x^2 + \frac{5}{2}x$

$\frac{3}{2}x^2 - \frac{9}{2}x = 0$

$\frac{3}{2}x(x - 3) = 0$

$x = 0, 3$

求める面積 $S$ は、$S = \int_{2}^{3} (g(x) - f(x)) dx$

$S = \int_{2}^{3} (-\frac{1}{2}x^2 + \frac{5}{2}x - (x^2 - 2x)) dx$

$S = \int_{2}^{3} (-\frac{3}{2}x^2 + \frac{9}{2}x) dx$

$S = [-\frac{1}{2}x^3 + \frac{9}{4}x^2]_{2}^{3}$

$S = (-\frac{27}{2} + \frac{81}{4}) - (-\frac{8}{2} + \frac{36}{4})$

$S = (-\frac{54}{4} + \frac{81}{4}) - (-\frac{16}{4} + \frac{36}{4})$

$S = \frac{27}{4} - \frac{20}{4} = \frac{7}{4}$

(3) $t$ は $\frac{3}{2} < t < p=2$ を満たす定数とする。

$C_1$ と $C_2$ で囲まれた部分のうち、直線 $x=t$ の左側の部分の面積を $T$ とする。

$T = \int_{0}^{t} (g(x) - f(x)) dx$

$T = \int_{0}^{t} (-\frac{3}{2}x^2 + \frac{9}{2}x) dx$

$T = [-\frac{1}{2}x^3 + \frac{9}{4}x^2]_{0}^{t}$

$T = -\frac{1}{2}t^3 + \frac{9}{4}t^2$

$T=2S$ より、$-\frac{1}{2}t^3 + \frac{9}{4}t^2 = 2 \cdot \frac{7}{4} = \frac{7}{2}$

$-\frac{1}{2}t^3 + \frac{9}{4}t^2 - \frac{7}{2} = 0$

$-2t^3 + 9t^2 - 14 = 0$

$2t^3 - 9t^2 + 14 = 0$

$h(t) = 2t^3 - 9t^2 + 14$ とおく。

$h(2) = 2(8) - 9(4) + 14 = 16 - 36 + 14 = -6$

$h(\frac{3}{2}) = 2(\frac{27}{8}) - 9(\frac{9}{4}) + 14 = \frac{27}{4} - \frac{81}{4} + \frac{56}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$h'(t) = 6t^2 - 18t = 6t(t-3)$

$\frac{3}{2} < t < 2$ において、$h'(t) < 0$ であるから、$h(t)$ は単調減少である。

$h(\frac{3}{2}) = \frac{1}{2} > 0$、 $h(2) = -6 < 0$ なので、中間値の定理より、$\frac{3}{2} < t < 2$ の範囲で $h(t) = 0$ となる $t$ がただ 1 つ存在する。

3. 最終的な答え

(1) $p = 2$

(2) $S = \frac{7}{4}$

(3) $T = -\frac{1}{2}t^3 + \frac{9}{4}t^2$。$T=2S$ を満たす $t$ の値は、$\frac{3}{2} < t < 2$ においてただ 1 つ存在する。