与えられた関数 $U(x, y, z)$ に対して、その勾配 $\text{grad} \, U$ を求める問題です。具体的には、以下の2つの関数について計算を行います。 (a) $U(x, y, z) = \frac{k}{2}(x^2 + y^2 + z^2)$ (ただし、$k$は定数) (b) $U(x, y, z) = -G \frac{mM}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}$ (ただし、$G, m, M$ は定数)

1. 問題の内容

与えられた関数 $U(x, y, z)$ に対して、その勾配 $\text{grad} \, U$ を求める問題です。具体的には、以下の2つの関数について計算を行います。

(a) $U(x, y, z) = \frac{k}{2}(x^2 + y^2 + z^2)$ (ただし、$k$は定数)

(b) $U(x, y, z) = -G \frac{mM}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}$ (ただし、$G, m, M$ は定数)

2. 解き方の手順

勾配は、各変数に関する偏微分のベクトルとして定義されます。つまり、$\text{grad} \, U = \left( \frac{\partial U}{\partial x}, \frac{\partial U}{\partial y}, \frac{\partial U}{\partial z} \right)$ です。

(a) の場合：

まず、$U(x, y, z) = \frac{k}{2}(x^2 + y^2 + z^2)$ の各偏微分を計算します。

$\frac{\partial U}{\partial x} = \frac{k}{2} \cdot 2x = kx$

$\frac{\partial U}{\partial y} = \frac{k}{2} \cdot 2y = ky$

$\frac{\partial U}{\partial z} = \frac{k}{2} \cdot 2z = kz$

したがって、勾配は $\text{grad} \, U = (kx, ky, kz)$ となります。

(b) の場合：

まず、$U(x, y, z) = -G \frac{mM}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}}$ の各偏微分を計算します。ここで、$r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ とおくと、$U = -G \frac{mM}{r}$ と書けます。

$\frac{\partial U}{\partial x} = -G mM \frac{\partial}{\partial x} (r^{-1}) = -G mM (-1) r^{-2} \frac{\partial r}{\partial x}$

ここで、$\frac{\partial r}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} \cdot 2x = \frac{x}{r}$

したがって、$\frac{\partial U}{\partial x} = G \frac{mM}{r^2} \cdot \frac{x}{r} = G \frac{mMx}{r^3} = G \frac{mMx}{(x^2 + y^2 + z^2)^{3/2}}$

同様に、

$\frac{\partial U}{\partial y} = G \frac{mMy}{r^3} = G \frac{mMy}{(x^2 + y^2 + z^2)^{3/2}}$

$\frac{\partial U}{\partial z} = G \frac{mMz}{r^3} = G \frac{mMz}{(x^2 + y^2 + z^2)^{3/2}}$

したがって、勾配は $\text{grad} \, U = \left( G \frac{mMx}{(x^2 + y^2 + z^2)^{3/2}}, G \frac{mMy}{(x^2 + y^2 + z^2)^{3/2}}, G \frac{mMz}{(x^2 + y^2 + z^2)^{3/2}} \right)$ となります。

3. 最終的な答え

(a) $\text{grad} \, U = (kx, ky, kz)$

(b) $\text{grad} \, U = \left( G \frac{mMx}{(x^2 + y^2 + z^2)^{3/2}}, G \frac{mMy}{(x^2 + y^2 + z^2)^{3/2}}, G \frac{mMz}{(x^2 + y^2 + z^2)^{3/2}} \right)$