与えられた関数について、指定された点における連続性を調べる問題です。 (1) $f(x) = \frac{x^2}{|x|}$ の $x=0$ における連続性を調べます。 (2) $f(x) = \begin{cases} x \sin \frac{1}{x} & (x \neq 0) \\ 0 & (x=0) \end{cases}$ の $x=0$ における連続性を調べます。 関数 $y = \frac{x^2+1}{x^2-1}$ の連続性を調べます。

## 問題の回答

1. 問題の内容

与えられた関数について、指定された点における連続性を調べる問題です。

(1) $f(x) = \frac{x^2}{|x|}$ の $x=0$ における連続性を調べます。

(2) $f(x) = \begin{cases} x \sin \frac{1}{x} & (x \neq 0) \\ 0 & (x=0) \end{cases}$ の $x=0$ における連続性を調べます。

関数 $y = \frac{x^2+1}{x^2-1}$ の連続性を調べます。

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = \frac{x^2}{|x|}$ について

- $x=0$ において、分母が0になるため、$f(x)$ は定義されません。したがって、連続ではありません。

(2) $f(x) = \begin{cases} x \sin \frac{1}{x} & (x \neq 0) \\ 0 & (x=0) \end{cases}$ について

- $f(0) = 0$ なので、$f(x)$ は $x=0$ で定義されます。

- $\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x}$ を計算します。$-1 \le \sin \frac{1}{x} \le 1$ であるので、$-|x| \le x \sin \frac{1}{x} \le |x|$となります。$\lim_{x \to 0} -|x| = 0$ かつ $\lim_{x \to 0} |x| = 0$ であるので、はさみうちの原理より、$\lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x} = 0$となります。

- よって、$\lim_{x \to 0} f(x) = 0$

- $f(0) = 0$ であり、$\lim_{x \to 0} f(x) = 0$ であるから、$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$ が成立します。したがって、$f(x)$ は $x=0$ で連続です。

関数 $y = \frac{x^2+1}{x^2-1}$について

- 分子 $x^2+1$ と分母 $x^2-1$ はともに、すべての $x$ で連続です。

- 分母の $x^2-1$ は $x = \pm 1$ のとき0となります。このとき $y$ の値は定義されません。よって $x = \pm 1$のとき、$y$ は連続ではありません。

- 一方、$x \neq \pm 1$ のとき分母の $x^2 - 1$ は0でない。したがって $x \neq \pm 1$のとき、$y$ は連続です。

3. 最終的な答え

1: されない

2: ない

3: される

4: 0

5: 等しい

6: ある

7: ある

8: ±1

9: されない

10: ない

11: ある