問題Aの1.(1)と(2)の空欄を埋める問題です。 (1) $y = x^4 - x^3 - x + 1$ (2) $y = (x-2)e^x$

1. 問題の内容

問題Aの1.(1)と(2)の空欄を埋める問題です。

(1) $y = x^4 - x^3 - x + 1$

(2) $y = (x-2)e^x$

2. 解き方の手順

(1)

$y = x^4 - x^3 - x + 1$ を微分すると $y' = 4x^3 - 3x^2 - 1$。

$y'$ は $(x-1)$ を因数に持つので、

$y' = (x-1)(4x^2 + x + 1)$。

$4x^2 + x + 1$ の判別式は $1^2 - 4*4*1 = -15 < 0$ なので、実数解を持たない。

よって、$4x^2+x+1$ の符号は常に正である。

したがって、$y'$ の符号は $(x-1)$ の符号と同じになるので、$x>1$で正、$x<1$で負。

$y' = 0$ となるのは $x = 1$ のとき。

$y'$ の符号は $x=1$ の前後で負から正に変わるので、$y$ は $x=1$ で極小値をとる。

$x = 1$ のとき、$y = 1^4 - 1^3 - 1 + 1 = 0$。

(2)

$y = (x-2)e^x$ を微分すると $y' = e^x + (x-2)e^x = (x-1)e^x$。

$y'' = e^x + (x-1)e^x = xe^x$。

$y' = 0$ となるのは $x = 1$ のとき。

$x = 1$ のとき、$y'' = 1*e^1 = e > 0$。

したがって、$y$ は $x = 1$ で極小値をとる。

$x = 1$ のとき、$y = (1-2)e^1 = -e$。

3. 最終的な答え

(1)

(1): $4x^3 - 3x^2 - 1$

(2): $(4x^2+x+1)$

(3): 正

(4): $1$

(5): 負->正

(6): 極小

(7): $0$

(2)

(8): $(x-1)$

(9): $x$

(10): $1$

(11): $e$

(12): 極小

(13): $-e$