与えられた関数の増減表を作成し、極値を求めます。問題は2つあります。 (1) $y = \frac{\sqrt{x}}{x+2}$ (2) $y = -\frac{1}{4}x^4 + x^3 + 5x^2$

1. 問題の内容

与えられた関数の増減表を作成し、極値を求めます。問題は2つあります。

(1) $y = \frac{\sqrt{x}}{x+2}$

(2) $y = -\frac{1}{4}x^4 + x^3 + 5x^2$

2. 解き方の手順

(1) $y = \frac{\sqrt{x}}{x+2}$の場合:

i. 定義域を求める。$\sqrt{x}$ が定義されるためには $x \geq 0$ である必要がある。また、分母が0にならないように、$x \neq -2$ である必要がある。したがって、定義域は $x \geq 0$。

ii. 導関数を求める。

$y' = \frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}(x+2) - \sqrt{x}(1)}{(x+2)^2} = \frac{\frac{x+2}{2\sqrt{x}} - \sqrt{x}}{(x+2)^2} = \frac{x+2-2x}{2\sqrt{x}(x+2)^2} = \frac{2-x}{2\sqrt{x}(x+2)^2}$

iii. $y'=0$ となる $x$ を求める。

$y' = 0$ となるのは、分子が0のとき。つまり、$2-x=0$ より $x=2$。

iv. 増減表を作成する。

$x$ | 0 | ... | 2 | ...

------- | -------- | -------- | -------- | --------

$y'$ | + | + | 0 | -

$y$ | 0 | 増加 | $\frac{\sqrt{2}}{4}$ | 減少

v. 極値を求める。

$x=2$ のとき、極大値 $y = \frac{\sqrt{2}}{2+2} = \frac{\sqrt{2}}{4}$ をとる。

$x=0$ のとき、$y=0$。

(2) $y = -\frac{1}{4}x^4 + x^3 + 5x^2$の場合:

i. 定義域は全ての実数。

ii. 導関数を求める。

$y' = -x^3 + 3x^2 + 10x = -x(x^2 - 3x - 10) = -x(x-5)(x+2)$

iii. $y'=0$ となる $x$ を求める。

$y' = 0$ となるのは、$x = -2, 0, 5$。

iv. 増減表を作成する。

$x$ | ... | -2 | ... | 0 | ... | 5 | ...

------- | -------- | -------- | -------- | -------- | -------- | -------- | --------

$y'$ | + | 0 | - | 0 | + | 0 | -

$y$ | 増加 | 4 | 減少 | 0 | 増加 | $\frac{625}{4}$ | 減少

v. 極値を求める。

$x = -2$ のとき、極大値 $y = -\frac{1}{4}(-2)^4 + (-2)^3 + 5(-2)^2 = -4 - 8 + 20 = 8$

$x = 0$ のとき、極小値 $y = 0$

$x = 5$ のとき、極大値 $y = -\frac{1}{4}(5)^4 + (5)^3 + 5(5)^2 = -\frac{625}{4} + 125 + 125 = \frac{-625+500+500}{4} = \frac{375}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $y = \frac{\sqrt{x}}{x+2}$

増減表は上記参照。極大値は $x=2$ のとき $y = \frac{\sqrt{2}}{4}$。極小値は $x=0$ のとき $y=0$。

(2) $y = -\frac{1}{4}x^4 + x^3 + 5x^2$

増減表は上記参照。

極大値は $x = -2$ のとき $y = 8$、 $x=5$のとき$y=\frac{375}{4}$.

極小値は $x = 0$ のとき $y = 0$