SENSEI AI
About App

関数 $y = -2x \log_e x$ の導関数を求めよ。

解析学導関数積の微分対数関数
2025/7/22

1. 問題の内容

関数 y=−2xlog⁡exy = -2x \log_e x の導関数を求めよ。

2. 解き方の手順

関数 y=−2xlog⁡exy = -2x \log_e x の導関数を求める。これは、積の微分公式を使う必要がある。
積の微分公式は、(uv)′=u′v+uv′(uv)' = u'v + uv' である。
この問題では、u=−2xu = -2x、v=log⁡exv = \log_e x とすると、
u′=−2u' = -2、 v′=1xv' = \frac{1}{x} となる。
したがって、y′y' は次のようになる。
y′=(−2x)′log⁡ex+(−2x)(log⁡ex)′y' = (-2x)' \log_e x + (-2x) (\log_e x)'
y′=−2log⁡ex+(−2x)1xy' = -2 \log_e x + (-2x) \frac{1}{x}
y′=−2log⁡ex−2y' = -2 \log_e x - 2
y′=−2(log⁡ex+1)y' = -2(\log_e x + 1)

3. 最終的な答え

−2(log⁡ex+1)-2(\log_e x + 1)

「解析学」の関連問題

関数 $f(x) = \frac{1}{1+x^2}$ をマクローリン展開せよ。

マクローリン展開関数級数収束
2025/7/23

関数 $f(x) = \frac{1}{1+x^2}$ をマクローリン展開せよ。

マクローリン展開関数級数収束
2025/7/23

$f(x)=x^2$ としたとき、以下の関数の導関数 $y'$ を求める問題です。 (1) $y = \sin^2 x$ (2) $y = 2^x$ (3) $y = e^x$

導関数微分合成関数の微分指数関数三角関数
2025/7/23

与えられた積分問題を解きます。ここでは、(2) $\int \frac{1}{x} \sqrt{\frac{x-1}{x+1}} dx$ と (3) $\int \tan^n x \, dx$ (nは...

積分置換積分部分分数分解三角関数
2025/7/23

与えられた2つの不定積分を計算します。 (1) $\int \frac{x+1}{2x^2 - x - 1} dx$ (2) $\int \frac{x-1}{x^2 + x + 3} dx$

積分不定積分部分分数分解積分計算
2025/7/23

$\int \frac{1}{x} \sqrt{\frac{x-1}{x+1}} dx$ を計算せよ。

積分置換積分部分分数分解不定積分
2025/7/23

曲線 $y = \frac{\log x}{x}$ ($x>0$) に接し、原点を通る直線の方程式を求める問題です。

微分接線対数関数
2025/7/23

与えられた2つの関数について、連続性を調べる問題です。 (1) $f(x, y) = \frac{x^3 - y^2}{2x - y}$ (2) $f(x, y) = \frac{xy^2}{x^2 ...

多変数関数連続性極限極座標変換
2025/7/23

与えられた関数の導関数を求める問題です。 (1) $x^{\sin x}$ ($x > 0$) (2) $\log(\sqrt{x-2} + \sqrt{x-3})$

微分導関数対数微分法合成関数の微分
2025/7/23

与えられた積分 $\int e^{3x} dx$ を計算する。

積分指数関数置換積分
2025/7/23