$(x+4)^4$ の展開式における $x^3$ の係数を求める問題です。

1. 問題の内容

$(x+4)^4$ の展開式における $x^3$ の係数を求める問題です。

2. 解き方の手順

二項定理を利用します。

$(a+b)^n$ の展開式における一般項は

${}_n C_r a^{n-r} b^r$

で与えられます。

今回の問題では、 $a = x$, $b = 4$, $n = 4$ です。$x^3$ の係数を求めたいので、$x^{n-r} = x^3$ となる $r$ を探します。

$n-r = 3$ より $4-r = 3$ なので、$r=1$ となります。

したがって、$x^3$ の項は、

${}_4 C_1 x^{4-1} 4^1 = {}_4 C_1 x^3 \cdot 4$

となります。ここで、

${}_4 C_1 = \frac{4!}{1!(4-1)!} = \frac{4!}{1!3!} = \frac{4 \times 3 \times 2 \times 1}{1 \times (3 \times 2 \times 1)} = 4$

したがって、$x^3$ の項は

$4 \times x^3 \times 4 = 16x^3$

よって、$x^3$ の係数は $16$ となります。

3. 最終的な答え

16