2次関数 $y = x^2 + ax + a + 8$ が $x$ 軸の正の部分と異なる2点で交わるような定数 $a$ の範囲を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 + ax + a + 8$ が $x$ 軸の正の部分と異なる2点で交わるような定数 $a$ の範囲を求める。

2. 解き方の手順

この問題を解くためには、以下の3つの条件を満たす必要がある。

1. 判別式 $D > 0$ (異なる2つの実数解を持つ)

2. 軸 $x = -\frac{a}{2} > 0$ ($x$ 軸の正の部分で交わる)

3. $f(0) > 0$ ($y$切片が正である)

まず、判別式 $D$ を計算する。

$D = a^2 - 4(a+8) = a^2 - 4a - 32 > 0$

$(a-8)(a+4) > 0$

したがって、$a < -4$ または $a > 8$

次に、軸について考える。

$-\frac{a}{2} > 0$

$a < 0$

最後に、$f(0)$ について考える。

$f(0) = a + 8 > 0$

$a > -8$

これらの条件をすべて満たす $a$ の範囲を求める。

1. $a < -4$ または $a > 8$

2. $a < 0$

3. $a > -8$

したがって、$-8 < a < -4$

3. 最終的な答え

$-8 < a < -4$