三角形ABCにおいて、線分AD, BE, CFは一点で交わっており、BD:DA=1:3, BE:EC=1:4である。このとき、CF:FAを求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、線分AD, BE, CFは一点で交わっており、BD:DA=1:3, BE:EC=1:4である。このとき、CF:FAを求める。

2. 解き方の手順

チェバの定理を利用する。チェバの定理とは、三角形ABCにおいて、頂点A, B, Cから対辺またはその延長上に引いた線がそれぞれ点D, E, Fで交わるとき、3つの線分AD, BE, CFが一点で交わるならば、

$\frac{BD}{DA} \cdot \frac{AF}{FC} \cdot \frac{CE}{EB} = 1$

が成り立つという定理である。

与えられた条件より、BD:DA = 1:3, BE:EC = 1:4なので、CE:EB = 4:1となる。

チェバの定理にこれらの値を代入すると、

$\frac{1}{3} \cdot \frac{AF}{FC} \cdot \frac{4}{1} = 1$

$\frac{4}{3} \cdot \frac{AF}{FC} = 1$

$\frac{AF}{FC} = \frac{3}{4}$

したがって、AF:FC = 3:4となる。

求めるのはCF:FAなので、FC:AF = 4:3である。

3. 最終的な答え

CF:FA = 4:3