$\sum_{k=1}^{n} 4^k$ を求めよ。つまり、$4^1 + 4^2 + 4^3 + ... + 4^n$ を計算せよ。

1. 問題の内容

$\sum_{k=1}^{n} 4^k$ を求めよ。つまり、$4^1 + 4^2 + 4^3 + ... + 4^n$ を計算せよ。

2. 解き方の手順

これは等比数列の和の問題です。

初項 $a = 4$、公比 $r = 4$、項数 $n$ の等比数列の和の公式は次の通りです。

$S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$

この公式に $a = 4$、$r = 4$ を代入すると、

$S_n = \frac{4(4^n - 1)}{4 - 1}$

$S_n = \frac{4(4^n - 1)}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{4(4^n - 1)}{3}$