数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $S_n = n^2 + 2n$ で表されるとき、以下の問いに答える問題です。 (1) 第 $n$ 項 $a_n$ を $n$ を用いて表しなさい。 (2) 次の無限級数 $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{a_k a_{k+1}}$ の収束、発散について調べ、収束する場合はその和を求めなさい。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $S_n = n^2 + 2n$ で表されるとき、以下の問いに答える問題です。

(1) 第 $n$ 項 $a_n$ を $n$ を用いて表しなさい。

(2) 次の無限級数 $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{a_k a_{k+1}}$ の収束、発散について調べ、収束する場合はその和を求めなさい。

2. 解き方の手順

(1) $a_n$ を求める。

$n \ge 2$ のとき、$a_n = S_n - S_{n-1}$ であるから、

$a_n = (n^2 + 2n) - ((n-1)^2 + 2(n-1)) = n^2 + 2n - (n^2 - 2n + 1 + 2n - 2) = n^2 + 2n - (n^2 + 1 - 2) = 2n+1$

$a_n = 2n+1$

$n=1$ のとき、$a_1 = S_1 = 1^2 + 2(1) = 3$

$a_n = 2n+1$ は $n=1$ のときも成り立つ。

よって、$a_n = 2n+1$

(2) 無限級数の収束、発散を調べる。

$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{a_k a_{k+1}} = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(2k+1)(2(k+1)+1)} = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{(2k+1)(2k+3)}$

$\frac{1}{(2k+1)(2k+3)} = \frac{A}{2k+1} + \frac{B}{2k+3}$ と部分分数分解する。

$1 = A(2k+3) + B(2k+1)$

$1 = 2(A+B)k + 3A + B$

$A+B=0$ より $B=-A$

$3A+B=1$ より $3A - A = 1$, $2A=1$, $A = \frac{1}{2}$, $B = -\frac{1}{2}$

$\frac{1}{(2k+1)(2k+3)} = \frac{1}{2} (\frac{1}{2k+1} - \frac{1}{2k+3})$

$S_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{a_k a_{k+1}} = \sum_{k=1}^n \frac{1}{2} (\frac{1}{2k+1} - \frac{1}{2k+3}) = \frac{1}{2} [(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) + (\frac{1}{5} - \frac{1}{7}) + \dots + (\frac{1}{2n+1} - \frac{1}{2n+3})]$

$= \frac{1}{2} (\frac{1}{3} - \frac{1}{2n+3})$

$\lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2} (\frac{1}{3} - \frac{1}{2n+3}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$

無限級数は収束し、その和は $\frac{1}{6}$ である。

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 2n+1$

(2) 収束し、その和は $\frac{1}{6}$