関数 $y = \frac{3x+a}{x+b}$ のグラフが点 $(2, -1)$ を通り、漸近線の1つが直線 $x=3$ であるとき、定数 $a, b$ の値を求める問題です。

代数学分数関数漸近線代入定数
2025/7/22

1. 問題の内容

関数 y=3x+ax+by = \frac{3x+a}{x+b} のグラフが点 (2,1)(2, -1) を通り、漸近線の1つが直線 x=3x=3 であるとき、定数 a,ba, b の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、漸近線が x=3x=3 であることから、x+b=0x+b=0 となる xx の値が3である必要があります。したがって、
b=3b = -3
次に、グラフが点 (2,1)(2, -1) を通ることから、x=2,y=1x=2, y=-1 を関数 y=3x+ax+by = \frac{3x+a}{x+b} に代入します。
1=3(2)+a2+(3)-1 = \frac{3(2)+a}{2+(-3)}
1=6+a1-1 = \frac{6+a}{-1}
1×(1)=6+a-1 \times (-1) = 6+a
1=6+a1 = 6+a
a=16a = 1-6
a=5a = -5

3. 最終的な答え

a=5a = -5
b=3b = -3

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