不等式 $\frac{4x}{2x-1} \ge 2x$ を解く問題です。

1. 問題の内容

不等式 $\frac{4x}{2x-1} \ge 2x$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

まず、不等式を整理します。

$\frac{4x}{2x-1} - 2x \ge 0$

通分します。

$\frac{4x - 2x(2x-1)}{2x-1} \ge 0$

$\frac{4x - 4x^2 + 2x}{2x-1} \ge 0$

$\frac{-4x^2 + 6x}{2x-1} \ge 0$

分子を因数分解します。

$\frac{-2x(2x - 3)}{2x-1} \ge 0$

両辺に -1 をかけて不等号の向きを変えます。

$\frac{2x(2x - 3)}{2x-1} \le 0$

$\frac{x(2x - 3)}{2x-1} \le 0$

分母と分子が0になるxの値を求めます。

$x=0, \frac{3}{2}, \frac{1}{2}$

数直線を使い、それぞれの区間で不等式が成立するかどうかを調べます。

* $x<0$ のとき、$\frac{(-)(-)}{(-)} < 0$ となり成立します。

* $0 < x < \frac{1}{2}$ のとき、$\frac{(+)(-)}{(-)} > 0$ となり成立しません。

* $\frac{1}{2} < x < \frac{3}{2}$ のとき、$\frac{(+)(-)}{(+)} < 0$ となり成立します。

* $x > \frac{3}{2}$ のとき、$\frac{(+)(+)}{(+)} > 0$ となり成立しません。

また、$x=0$のとき不等式は成立します。

$x=\frac{3}{2}$のとき不等式は成立します。

ただし、$x=\frac{1}{2}$は分母が0になるので解には含みません。

3. 最終的な答え

$x \le 0, \frac{1}{2} < x \le \frac{3}{2}$