数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $S_n = n^2 + 2n$ で表されるとき、以下の問いに答える問題です。 (1) 第 $n$ 項 $a_n$ を $n$ を用いて表す。 (2) 無限級数 $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{a_k a_{k+1}}$ の収束、発散について調べ、収束する場合はその和を求める。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和 $S_n$ が $S_n = n^2 + 2n$ で表されるとき、以下の問いに答える問題です。

(1) 第 $n$ 項 $a_n$ を $n$ を用いて表す。

(2) 無限級数 $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{a_k a_{k+1}}$ の収束、発散について調べ、収束する場合はその和を求める。

2. 解き方の手順

(1) $a_n$ を求める。

$n \geq 2$ のとき、$a_n = S_n - S_{n-1}$ である。

$S_n = n^2 + 2n$ より、

$S_{n-1} = (n-1)^2 + 2(n-1) = n^2 - 2n + 1 + 2n - 2 = n^2 - 1$

よって、

$a_n = (n^2 + 2n) - (n^2 - 1) = 2n + 1$

$n = 1$ のとき、$a_1 = S_1 = 1^2 + 2(1) = 3$。

$a_n = 2n + 1$ に $n=1$ を代入すると $a_1 = 2(1) + 1 = 3$。

したがって、$a_n = 2n + 1$ （$n \geq 1$）。

(2) 無限級数 $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{a_k a_{k+1}}$ の収束、発散を調べる。

$a_k = 2k + 1$ より、$\frac{1}{a_k a_{k+1}} = \frac{1}{(2k+1)(2(k+1)+1)} = \frac{1}{(2k+1)(2k+3)}$。

$\frac{1}{(2k+1)(2k+3)} = \frac{A}{2k+1} + \frac{B}{2k+3}$ と部分分数分解する。

$1 = A(2k+3) + B(2k+1)$

$2k+3 = 0 \Rightarrow k = -\frac{3}{2}$ より、 $1 = B(2(-\frac{3}{2})+1) = B(-3+1) = -2B \Rightarrow B = -\frac{1}{2}$.

$2k+1 = 0 \Rightarrow k = -\frac{1}{2}$ より、 $1 = A(2(-\frac{1}{2})+3) = A(-1+3) = 2A \Rightarrow A = \frac{1}{2}$.

よって、$\frac{1}{a_k a_{k+1}} = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{2k+1} - \frac{1}{2k+3}\right)$.

$\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{a_k a_{k+1}} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{2k+1} - \frac{1}{2k+3}\right)$

$= \frac{1}{2} \left[ \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{5}\right) + \left(\frac{1}{5} - \frac{1}{7}\right) + \left(\frac{1}{7} - \frac{1}{9}\right) + \dots + \left(\frac{1}{2n+1} - \frac{1}{2n+3}\right) \right]$

$= \frac{1}{2} \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{2n+3}\right)$

$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{a_k a_{k+1}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2} \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{2n+3}\right) = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{3} - 0\right) = \frac{1}{6}$

3. 最終的な答え

(1) $a_n = 2n+1$

(2) 収束し、和は $\frac{1}{6}$