与えられた複素数に関する問題を解きます。具体的には、虚数単位の定義、複素数の表現、複素数の計算、共役な複素数について答えます。

代数学複素数虚数単位複素数の計算共役複素数
2025/7/22

1. 問題の内容

与えられた複素数に関する問題を解きます。具体的には、虚数単位の定義、複素数の表現、複素数の計算、共役な複素数について答えます。

2. 解き方の手順

【問1】
* 2乗すると-1になる数を ii で表します。つまり i2=1i^2 = -1 と定義し、ii を虚数単位といいます。
* 実数 a,ba, b と虚数単位 ii によって、a+bia + bi と表される数を複素数といいます。
* a,b,c,da, b, c, d が実数のとき、a+bi=c+dia + bi = c + di が成り立つならば、a=ca = c かつ b=db = d
* 2つの複素数 a+bia + biabia - bi を互いに共役な複素数という。
【問2】
(1) 5=51=5i\sqrt{-5} = \sqrt{5} \cdot \sqrt{-1} = \sqrt{5}i
(2) 1=i-\sqrt{-1} = -i
【問3】
(1) (3x1)+(2y+1)i=57i(3x - 1) + (2y + 1)i = 5 - 7i
実部と虚部を比較して、
3x1=53x - 1 = 5
2y+1=72y + 1 = -7
これらの式を解くと、
3x=63x = 6 より x=2x = 2
2y=82y = -8 より y=4y = -4
(2) (x+2)+(y1)i=0(x + 2) + (y - 1)i = 0
実部と虚部を比較して、
x+2=0x + 2 = 0
y1=0y - 1 = 0
これらの式を解くと、
x=2x = -2
y=1y = 1
【問4】
(1) i+i=2ii + i = 2i
(2) 3i5i=2i3i - 5i = -2i
(3) (4+5i)+(32i)=(4+3)+(52)i=7+3i(4 + 5i) + (3 - 2i) = (4 + 3) + (5 - 2)i = 7 + 3i
(4) 4i×3i=12i2=12(1)=124i \times 3i = 12i^2 = 12(-1) = -12
(5) (1+i)(1i)=1i2=1(1)=1+1=2(1 + i)(1 - i) = 1 - i^2 = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2
(6) 1÷i=1i=1iii=ii2=i(1)=i1=i1 \div i = \frac{1}{i} = \frac{1}{i} \cdot \frac{-i}{-i} = \frac{-i}{-i^2} = \frac{-i}{-(-1)} = \frac{-i}{1} = -i
【問5】
(1) 3+2i3 + 2i と共役な複素数は 32i3 - 2i
(2) 3i3 - i と共役な複素数は 3+i3 + i
(3) 2+i-2 + i と共役な複素数は 2i-2 - i
(4) 7i-7i と共役な複素数は 7i7i

3. 最終的な答え

【問1】
* ii
* 1-1
* 虚数単位
* 複素数
* a=ca = c
* b=db = d
* 共役
【問2】
(1) 5i\sqrt{5}i
(2) i-i
【問3】
(1) x=2,y=4x = 2, y = -4
(2) x=2,y=1x = -2, y = 1
【問4】
(1) 2i2i
(2) 2i-2i
(3) 7+3i7 + 3i
(4) 12-12
(5) 22
(6) i-i
【問5】
(1) 32i3 - 2i
(2) 3+i3 + i
(3) 2i-2 - i
(4) 7i7i

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