$f(x) = x^2 - (2k-2)x + 2k^2 - 5$ という2次関数について、以下の問題を解きます。 (1) 放物線Cの軸が $x=2$ のとき、頂点のy座標を求める。 (2) $k>0$ で、Cがx軸と接するとき、kの値を求める。 (3) $-3 \le k \le 0$ のとき、Cの頂点のy座標の最大値を求める。 (4) Cがx軸から切り取る線分の長さが $2\sqrt{7}$ のとき、kの値を求める。 (5) Cが $x<-1$ と $1<x$ の範囲でx軸と交わるとき、最大の整数kを求める。 (6) $-1 \le x \le 1$ において、$f(x)$ の最大値が3、最小値が $k^2 + 2k - 6$ となるようなkの値を求める。

1. 問題の内容

$f(x) = x^2 - (2k-2)x + 2k^2 - 5$ という2次関数について、以下の問題を解きます。

(1) 放物線Cの軸が $x=2$ のとき、頂点のy座標を求める。

(2) $k>0$ で、Cがx軸と接するとき、kの値を求める。

(3) $-3 \le k \le 0$ のとき、Cの頂点のy座標の最大値を求める。

(4) Cがx軸から切り取る線分の長さが $2\sqrt{7}$ のとき、kの値を求める。

(5) Cが $x<-1$ と $1<x$ の範囲でx軸と交わるとき、最大の整数kを求める。

(6) $-1 \le x \le 1$ において、$f(x)$ の最大値が3、最小値が $k^2 + 2k - 6$ となるようなkの値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 軸が $x=2$ なので、 $2 = \frac{2k-2}{2}$ より $k=3$ 。

$f(x) = x^2 - 4x + 13$ となり、 $f(2) = 4 - 8 + 13 = 9$ 。よって頂点のy座標は9。

(2) x軸と接するので、判別式 $D = (2k-2)^2 - 4(2k^2 - 5) = 0$

$4k^2 - 8k + 4 - 8k^2 + 20 = 0$

$-4k^2 - 8k + 24 = 0$

$k^2 + 2k - 6 = 0$

$k = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 24}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{28}}{2} = -1 \pm \sqrt{7}$

$k>0$ より、 $k = -1 + \sqrt{7}$

(3) $f(x) = x^2 - (2k-2)x + 2k^2 - 5$ を平方完成すると、

$f(x) = (x - (k-1))^2 + 2k^2 - 5 - (k-1)^2 = (x - (k-1))^2 + k^2 + 2k - 6$

頂点のy座標は $k^2 + 2k - 6 = (k+1)^2 - 7$

$-3 \le k \le 0$ において、 $k=-1$ のとき最小値-7, $k=-3$ のとき最大値 $( -3+1)^2 - 7 = 4 - 7 = -3$

よって、最大値は-3。

(4) Cがx軸から切り取る線分の長さが $2\sqrt{7}$ なので、判別式 $D = (2k-2)^2 - 4(2k^2 - 5) = 4k^2 - 8k + 4 - 8k^2 + 20 = -4k^2 - 8k + 24$

$x = \frac{2k-2 \pm \sqrt{-4k^2 - 8k + 24}}{2}$

切り取る線分の長さは $\sqrt{-4k^2 - 8k + 24}$

$\sqrt{-4k^2 - 8k + 24} = 2\sqrt{7}$

$-4k^2 - 8k + 24 = 28$

$-4k^2 - 8k - 4 = 0$

$k^2 + 2k + 1 = 0$

$(k+1)^2 = 0$

$k = -1$

(5) $f(x) = x^2 - (2k-2)x + 2k^2 - 5$

$f(-1) < 0$ かつ $f(1) < 0$ であれば良い。

$f(-1) = 1 + (2k-2) + 2k^2 - 5 = 2k^2 + 2k - 6 < 0$

$k^2 + k - 3 < 0$

$k = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 12}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{13}}{2}$

$\frac{-1 - \sqrt{13}}{2} < k < \frac{-1 + \sqrt{13}}{2}$

$f(1) = 1 - (2k-2) + 2k^2 - 5 = 2k^2 - 2k - 2 < 0$

$k^2 - k - 1 < 0$

$k = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

$\frac{1 - \sqrt{5}}{2} < k < \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

$\sqrt{13} \approx 3.6$ より $\frac{-1 + \sqrt{13}}{2} \approx 1.3$

$\sqrt{5} \approx 2.2$ より $\frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1.6$

$\frac{1-\sqrt{5}}{2} \approx -0.6$

$\frac{-1-\sqrt{13}}{2} \approx -2.3$

$-0.6 < k < 1.3$

最大の整数kは 1。

(6) $f(x) = (x - (k-1))^2 + k^2 + 2k - 6$

軸は $x = k-1$

$-1 \le x \le 1$ において、最大値が3、最小値が $k^2 + 2k - 6$

$k^2 + 2k - 6$ は頂点のy座標なので、$k-1$ が $-1 \le x \le 1$ に入っている場合、最小値は $k^2 + 2k - 6$ となる。

$-1 \le k-1 \le 1$

$0 \le k \le 2$

$k^2 + 2k - 6 = 3$ ではないとき

$k = 0$ or $k = 2$ のいずれか

-1から1で最大値3となる時

$f(1) = 3$ または $f(-1) = 3$

$f(1) = 1-(2k-2)+2k^2 - 5 = 2k^2-2k-2 = 3$

$2k^2 -2k - 5 = 0$

$k = \frac{2 \pm \sqrt{4+40}}{4} = \frac{2 \pm \sqrt{44}}{4} = \frac{1 \pm \sqrt{11}}{2}$

$f(-1) = 1+2k-2 + 2k^2 - 5 = 2k^2 + 2k -6 = 3$

$2k^2+2k-9 = 0$

$k = \frac{-2 \pm \sqrt{4+72}}{4} = \frac{-1 \pm \sqrt{19}}{2}$

$k = \frac{1+\sqrt{11}}{2}$ の時 $k-1 = \frac{-1+\sqrt{11}}{2} \approx 1.16 < 1$

$f(k-1)=k^2+2k-6 \neq 3$ が必要条件

$k = \frac{1+\sqrt{11}}{2}$ が答え

3. 最終的な答え

(1) 9

(2) $-1 + \sqrt{7}$

(3) -3

(4) -1

(5) 1

(6) $\frac{1 + \sqrt{11}}{2}$