P, Q, R, S, T の5つのテレビ番組の視聴率を調査し、先週と今週の順位をつけた。 - 先週1位だったPは、今週は3位になった。 - Q, R, S は先週より1つずつ順位が上がった。 先週、今週ともに、同順位の番組はないとき、先週のTの順位を求める。

1. 問題の内容

P, Q, R, S, T の5つのテレビ番組の視聴率を調査し、先週と今週の順位をつけた。

- 先週1位だったPは、今週は3位になった。

- Q, R, S は先週より1つずつ順位が上がった。

先週、今週ともに、同順位の番組はないとき、先週のTの順位を求める。

2. 解き方の手順

まず、先週の順位を仮定し、条件から今週の順位を導き出し、矛盾がないか確認する。

先週の順位を $P_1, Q_2, R_3, S_4, T_5$ と仮定する。($X_i$はXがi位であることを示す。)

条件から、今週の順位は、

- Pは3位なので、$P_3$

- Q, R, S は先週より1つずつ順位が上がるので、$Q_1, R_2, S_3$、

しかし、Pも3位なので、$S_3$は矛盾する。

次に、先週の順位を $P_1, Q_2, R_3, T_4, S_5$ と仮定する。

条件から、今週の順位は、

- Pは3位なので、$P_3$

- Q, R, S は先週より1つずつ順位が上がるので、$Q_1, R_2, S_4$

よって、今週は $Q_1, R_2, P_3, S_4, T_5$となり矛盾は生じない。

次に、先週の順位を $P_1, Q_2, T_3, R_4, S_5$ と仮定する。

条件から、今週の順位は、

- Pは3位なので、$P_3$

- Q, R, S は先週より1つずつ順位が上がるので、$Q_1, R_2, S_3$

PもSも3位なので、矛盾が生じる。

次に、先週の順位を $P_1, T_2, Q_3, R_4, S_5$ と仮定する。

条件から、今週の順位は、

- Pは3位なので、$P_3$

- Q, R, S は先週より1つずつ順位が上がるので、$Q_2, R_3, S_4$

QとTが2位、RとPが3位となり矛盾が生じる。

次に、先週の順位を $T_1, P_2, Q_3, R_4, S_5$と仮定する。

条件から、今週の順位は、

- Pは3位なので、$P_3$

- Q, R, S は先週より1つずつ順位が上がるので、$Q_2, R_3, S_4$

PとRが3位なので、矛盾が生じる。

先週の順位のパターンは上記の通りではない。

先週の順位が、$Q_1, P_2, R_3, S_4, T_5$ のとき、今週の順位は $Q_2, P_3, R_4, S_5, ...$　これはありえない。

今週の順位を仮定する。

先週の順位が $Q_2, R_3, P_1, S_4, T_5$ と仮定する。

今週の順位は $Q_1, R_2, P_3, S_5, T_x$となる。この場合、xは

4. よって先週の順位は、$T_5$となる。

5位以外の可能性は、先週と今週で同順位になる場合がありえないので、５位である。

3. 最終的な答え

5 位