与えられた定積分 $\int_{-1}^{1} \frac{dx}{x^2}$ の値を求める。

1. 問題の内容

与えられた定積分

$\int_{-1}^{1} \frac{dx}{x^2}$

の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{1}{x^2}$ の原始関数を求める。

$\int \frac{1}{x^2} dx = \int x^{-2} dx = \frac{x^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{x} + C$

次に、定積分を計算する。

$\int_{-1}^{1} \frac{dx}{x^2} = \left[ -\frac{1}{x} \right]_{-1}^{1} = -\frac{1}{1} - \left(-\frac{1}{-1}\right) = -1 - (-1) = -1 - 1 = -2$

ただし、被積分関数 $\frac{1}{x^2}$ は $x=0$ で定義されていないので、この計算は正しくない。

厳密には、この積分は特異積分であり、以下のように計算する。

$\int_{-1}^{1} \frac{dx}{x^2} = \int_{-1}^{0} \frac{dx}{x^2} + \int_{0}^{1} \frac{dx}{x^2}$

$\int_{-1}^{0} \frac{dx}{x^2} = \lim_{t \to -0} \int_{-1}^{t} \frac{dx}{x^2} = \lim_{t \to -0} \left[ -\frac{1}{x} \right]_{-1}^{t} = \lim_{t \to -0} \left( -\frac{1}{t} - \left(-\frac{1}{-1}\right) \right) = \lim_{t \to -0} \left( -\frac{1}{t} - 1 \right) = \infty$

$\int_{0}^{1} \frac{dx}{x^2} = \lim_{t \to +0} \int_{t}^{1} \frac{dx}{x^2} = \lim_{t \to +0} \left[ -\frac{1}{x} \right]_{t}^{1} = \lim_{t \to +0} \left( -\frac{1}{1} - \left(-\frac{1}{t}\right) \right) = \lim_{t \to +0} \left( -1 + \frac{1}{t} \right) = \infty$

したがって、$\int_{-1}^{1} \frac{dx}{x^2}$ は発散する。

3. 最終的な答え

発散する