次の3つの不定積分を求める問題です。 (1) $\int x \log(2x) dx$ (2) $\int \sin(2x+1) dx$ (3) $\int \sin^2 x dx$

1. 問題の内容

次の3つの不定積分を求める問題です。

(1) $\int x \log(2x) dx$

(2) $\int \sin(2x+1) dx$

(3) $\int \sin^2 x dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int x \log(2x) dx$

部分積分を用いて解きます。

$u = \log(2x)$, $dv = x dx$ とすると、

$du = \frac{1}{x} dx$, $v = \frac{x^2}{2}$ となります。

部分積分の公式 $\int u dv = uv - \int v du$ を用いると、

$\int x \log(2x) dx = \frac{x^2}{2} \log(2x) - \int \frac{x^2}{2} \cdot \frac{1}{x} dx$

$= \frac{x^2}{2} \log(2x) - \int \frac{x}{2} dx$

$= \frac{x^2}{2} \log(2x) - \frac{x^2}{4} + C$

(2) $\int \sin(2x+1) dx$

置換積分を用いて解きます。

$u = 2x+1$ とすると、$du = 2 dx$ より $dx = \frac{1}{2} du$ となります。

$\int \sin(2x+1) dx = \int \sin(u) \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int \sin(u) du$

$= \frac{1}{2} (-\cos u) + C = -\frac{1}{2} \cos(2x+1) + C$

(3) $\int \sin^2 x dx$

$\sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$ を用いて解きます。

$\int \sin^2 x dx = \int \frac{1 - \cos(2x)}{2} dx = \frac{1}{2} \int (1 - \cos(2x)) dx$

$= \frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin(2x)) + C = \frac{x}{2} - \frac{1}{4} \sin(2x) + C$

3. 最終的な答え

(1) $\int x \log(2x) dx = \frac{x^2}{2} \log(2x) - \frac{x^2}{4} + C$

(2) $\int \sin(2x+1) dx = -\frac{1}{2} \cos(2x+1) + C$

(3) $\int \sin^2 x dx = \frac{x}{2} - \frac{1}{4} \sin(2x) + C$