画像にある数学の問題を解く。問題は、逆三角関数の値を求める問題、極限を計算する問題、関数の導関数を求める問題、関数 $f(x) = e^{-x^2}$ に関する問題、そして積分を計算する問題の5つのカテゴリに分かれている。

1. 問題の内容

画像にある数学の問題を解く。問題は、逆三角関数の値を求める問題、極限を計算する問題、関数の導関数を求める問題、関数 $f(x) = e^{-x^2}$ に関する問題、そして積分を計算する問題の5つのカテゴリに分かれている。

2. 解き方の手順

**(1) 逆三角関数の値を求める**

(1) $\sin^{-1}\frac{1}{2}$: $\sin \theta = \frac{1}{2}$ となる $\theta$ を求める。主値の範囲は $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ であるから、$\theta = \frac{\pi}{6}$

(2) $\cos^{-1}(-\frac{1}{2})$: $\cos \theta = -\frac{1}{2}$ となる $\theta$ を求める。主値の範囲は $[0, \pi]$ であるから、$\theta = \frac{2\pi}{3}$

(3) $\tan^{-1}\sqrt{3}$: $\tan \theta = \sqrt{3}$ となる $\theta$ を求める。主値の範囲は $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ であるから、$\theta = \frac{\pi}{3}$

**(2) 極限を計算する**

(1) $\lim_{x \to 1} \frac{2x^2 - x - 1}{x - 1}$: 分子を因数分解すると $2x^2 - x - 1 = (2x + 1)(x - 1)$ なので、

$$\lim_{x \to 1} \frac{(2x + 1)(x - 1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} (2x + 1) = 2(1) + 1 = 3$$

(2) $\lim_{x \to \infty} \tan^{-1} x$: $x \to \infty$ のとき、$\tan^{-1} x \to \frac{\pi}{2}$

(3) $\lim_{x \to \infty} (1 - \frac{1}{x})^x$: これは $\lim_{x \to \infty} (1 + \frac{a}{x})^x = e^a$ の形。

$a = -1$ なので、$\lim_{x \to \infty} (1 - \frac{1}{x})^x = e^{-1} = \frac{1}{e}$

(4) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 4x}{x}$: $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ を利用。

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 4x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 4x}{4x} \cdot 4 = 1 \cdot 4 = 4$$

(5) $\lim_{x \to 0} \frac{\sin^{-1} x}{x}$: $\lim_{x \to 0} \frac{\sin^{-1} x}{x} = 1$ (ロピタルの定理を使うか、$\sin^{-1} x$ のマクローリン展開を利用)

**(3) 関数の導関数を求める**

(1) $y = 3x^2 + \sqrt{x} + \frac{1}{x} = 3x^2 + x^{\frac{1}{2}} + x^{-1}$

$$y' = 6x + \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} - x^{-2} = 6x + \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{x^2}$$

(2) $y = x \cos^{-1} x - \sqrt{1 - x^2}$

$$y' = \cos^{-1} x + x(-\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}) - \frac{1}{2}(1 - x^2)^{-\frac{1}{2}}(-2x) = \cos^{-1} x - \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} + \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} = \cos^{-1} x$$

(3) $y = \frac{\log x}{x}$

$$y' = \frac{\frac{1}{x} \cdot x - \log x \cdot 1}{x^2} = \frac{1 - \log x}{x^2}$$

(4) $y = \sin^3 2x$

$$y' = 3(\sin 2x)^2 \cdot \cos 2x \cdot 2 = 6 \sin^2 2x \cos 2x$$

(5) $y = x^x$

$\log y = x \log x$

$$\frac{y'}{y} = \log x + x \cdot \frac{1}{x} = \log x + 1$$

$$y' = x^x (\log x + 1)$$

**(4) 関数 $f(x) = e^{-x^2}$ に関する問題**

(1) 曲線 $y = f(x)$ 上の点 $(1, f(1))$ における接線の方程式を求める。

$f(1) = e^{-1} = \frac{1}{e}$

$f'(x) = e^{-x^2}(-2x) = -2xe^{-x^2}$

$f'(1) = -2e^{-1} = -\frac{2}{e}$

接線の方程式は $y - \frac{1}{e} = -\frac{2}{e}(x - 1)$

$y = -\frac{2}{e}x + \frac{2}{e} + \frac{1}{e} = -\frac{2}{e}x + \frac{3}{e}$

(2) $f(x)$ の極値を求める。

$f'(x) = -2xe^{-x^2} = 0$ となる $x$ を求める。

$x = 0$ のとき、$f'(x) = 0$。

$x < 0$ のとき、$f'(x) > 0$ で、$x > 0$ のとき、$f'(x) < 0$ なので、$x = 0$ で極大となる。

$f(0) = e^0 = 1$ なので、極大値は1。極小値はない。

**(5) 積分を計算する**

(1) $\int (2x + 1)^8 dx$

$u = 2x + 1$ とすると、$du = 2 dx$ なので、$dx = \frac{1}{2} du$

$\int u^8 \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{9} u^9 + C = \frac{1}{18} (2x + 1)^9 + C$

(2) $\int \frac{1}{\sqrt{4 - x^2}} dx$

これは $\int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} dx = \sin^{-1} \frac{x}{a} + C$ の形。

よって、$\int \frac{1}{\sqrt{4 - x^2}} dx = \sin^{-1} \frac{x}{2} + C$

(3) $\int \cos^2 x dx$

$\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$ なので、

$\int \cos^2 x dx = \int \frac{1 + \cos 2x}{2} dx = \frac{1}{2} \int (1 + \cos 2x) dx = \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin 2x) + C = \frac{1}{2}x + \frac{1}{4} \sin 2x + C$

(4) $\int \tan^{-1} x dx$

部分積分を使う。$u = \tan^{-1} x$, $dv = dx$ とすると、$du = \frac{1}{1 + x^2} dx$, $v = x$

$\int \tan^{-1} x dx = x \tan^{-1} x - \int \frac{x}{1 + x^2} dx$

$\int \frac{x}{1 + x^2} dx = \frac{1}{2} \int \frac{2x}{1 + x^2} dx = \frac{1}{2} \log(1 + x^2) + C$

$\int \tan^{-1} x dx = x \tan^{-1} x - \frac{1}{2} \log(1 + x^2) + C$

(5) $\int \frac{2x + 1}{x^2 - 1} dx$

$\frac{2x + 1}{x^2 - 1} = \frac{2x + 1}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 1}$ と部分分数分解する。

$2x + 1 = A(x + 1) + B(x - 1)$

$x = 1$ のとき、$3 = 2A$ なので、$A = \frac{3}{2}$

$x = -1$ のとき、$-1 = -2B$ なので、$B = \frac{1}{2}$

$\int \frac{2x + 1}{x^2 - 1} dx = \int (\frac{3/2}{x - 1} + \frac{1/2}{x + 1}) dx = \frac{3}{2} \log |x - 1| + \frac{1}{2} \log |x + 1| + C$

3. 最終的な答え

**(1) 逆三角関数の値**

(1) $\frac{\pi}{6}$

(2) $\frac{2\pi}{3}$

(3) $\frac{\pi}{3}$

**(2) 極限**

(1) 3

(2) $\frac{\pi}{2}$

(3) $\frac{1}{e}$

(4) 4

(5) 1

**(3) 導関数**

(1) $6x + \frac{1}{2\sqrt{x}} - \frac{1}{x^2}$

(2) $\cos^{-1} x$

(3) $\frac{1 - \log x}{x^2}$

(4) $6 \sin^2 2x \cos 2x$

(5) $x^x (\log x + 1)$

**(4) 関数 $f(x) = e^{-x^2}$**

(1) $y = -\frac{2}{e}x + \frac{3}{e}$

(2) 極大値: 1

**(5) 積分**

(1) $\frac{1}{18} (2x + 1)^9 + C$

(2) $\sin^{-1} \frac{x}{2} + C$

(3) $\frac{1}{2}x + \frac{1}{4} \sin 2x + C$

(4) $x \tan^{-1} x - \frac{1}{2} \log(1 + x^2) + C$

(5) $\frac{3}{2} \log |x - 1| + \frac{1}{2} \log |x + 1| + C$